Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Найдите наименьшее натуральное $N$ такое, что $N+2$ делится (без остатка) на 2, $N+3$ — на 3, $\ldots$, $N+10$ — на 10.

Пятеро бегунов бежали эстафету. Если бы первый бежал в два раза быстрее, то они бы потратили на 5% меньше времени. Если бы второй бежал в два раза быстрее, то потратили бы на 10% меньше времени. Если бы третий бежал в два раза быстрее, то потратили бы на 12% меньше времени. Если бы четвёртый бежал в два раза быстрее, то потратили бы на 15% меньше времени. На сколько процентов меньше времени они бы потратили, если бы пятый бежал в два раза быстрее?

Можно ли расставить числа $2016, 2017, \ldots, 2024$ на указанные позиции (см. рисунок) так, чтобы сумма чисел, стоящих на каждой стороне треугольника, была одинаковой?

Дан квадрат $1\times1$. Разрежьте его на 5 прямоугольников так, чтобы все 10 чисел, соответствующие ширине и высоте каждого прямоугольника, были различными рациональными числами.

Найдите наименьшее натуральное число $N$, такое, что число $99N$ состоит из одних троек.

Окружность с диаметром $AB$ пересекает отрезки $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, причём длина отрезка $MN$ равна радиусу окружности. Найдите площадь четырехугольника $ABNM$, если известно, что $AC=12$ и $BC=8$.

Найдите все пары натуральных чисел $(x,y)$, для которых выполнено равенство \[ x^2+xy=y+92. \]