Задача 1
Для каждого целого положительного $x$ найти наибольший общий делитель чисел $P_1(x)=x^3+5x^2+4x+15$ и $P_2(x)=x^4+5x^3+15x+3$.
Ответ:
Решение:
Задача 2
Вычислить значение $\cos^2 2x$ для всех допустимых значений $x$, если \[ \mathrm{tg}^4x-4\,\mathrm{tg}^2x+1=0. \]
Ответ:
Решение:
Задача 3
Доказать, что выражение $2\cdot6^n-25n^2+15n-2$ делится без остатка на $125$ при любом натуральном $n\gt 1$.
Ответ:
Решение:
Задача 4
При каких значениях $a$ три корня уравнения $4x^3+4ax^2+(a^2-2a-4)x-a^2-2a=0$ могут быть пятым, седьмым и девятым членами некоторой геометрической прогрессии? Найти квадрат знаменателя этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Задача 5
Острый угол треугольника $ABC$ равен $30^\circ$. Найти максимальное возможное значение отношения $r:R$, где $r$ и $R$ — радиусы вписанной и описанной окружностей.
Ответ:
Решение: