Олимпиада «Росатом»

Сколько различных пар целых чисел $x$ и $y$, $1\leqslant x\leqslant 100$, $1\leqslant y\leqslant 100$ удовлетворяют уравнению $\text{НОД}\,(\log_2 x, 36)=\log_3^2 y$? Найти эти пары.

Координаты $(x;y)$ вершин треугольника $ABC$ являются решениями уравнения \[ |\cos(x-2y)|=-|\cos(x+y)|. \] Найти наименьшее возможное значение площади треугольника.

Найти наибольшее число окружностей радиуса 1, не имеющих общих точек, которые могут одновременно касаться окружности радиуса 3.

В квадрате $ABCD$ со стороной 4 расположена точка $O$, отстоящая от сторон $AD$ и $CD$ на расстояние 1. Через точку $O$ совершенно случайно проведена прямая $L$, разделяющая квадрат на две части. Найти вероятность того, что одна из частей будет иметь площадь, не превосходящую 3.

При каких $a$ множество решений неравенства $x^2+(|y|-a)^2\leqslant a^2$ содержит все пары чисел $(x;y)$, для которых $(x-4)^2+(y-2)^2\leqslant 1$?

Около выпуклого четырехугольника $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны и по длине равны 5 и 6, можно описать окружность с центром в точке $O$. Найти площадь четырехугольника $ABCO$.