Олимпиада «Росатом»

Числа $a$ и $b$ таковы, что $a\in[-4;3]$ и парабола $y=x^2+ax+b$ пересекает отрезок с концами в точках $P(1;2)$ и $Q(-1;4)$. Нарисовать на координатной плоскости область $D$, содержащую все точки $M(a;b)$, и найти ее площадь.

Найти целые положительные $n$, при которых уравнение $x^2-a_nx-a_{n+1}=0$ имеет рациональные корни, где $a_n=\text{НОД}(6,n)$.

Найти $a$, $b$ и $c$, для которых $ar_n+br_{n+1}+cr_{n+2}=6$ для всех натуральных $n$, где $r_k$ — остаток от деления $k$ на $3$.

Найти сумму всех целых положительных делителей числа $a=2^8\cdot3^3\cdot5^6$.

Через вершину $A$ треугольника $ABC$ проведена прямая, пересекающая сторону $BC$ в точке $D$ и делящая площадь треугольника в отношении $1:7$. Другая прямая, параллельная $AD$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно и делит площадь треугольника $ABC$ пополам. В каком отношении точки $M$ и $N$ делят стороны $AB$ и $BC$?