Олимпиада «Шаг в будущее»
10 класс, заключительный этап, 2016, вариант 1
8 задач
Задача 1
Ответ:
Решение:
Задача 2
Вычислить $\frac{1580\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}-x}$, где $x=\frac12\left(\sqrt{\frac{2016}{1580}}-\sqrt{\frac{1580}{2016}}\right)$.
Ответ:
Решение:
Задача 3
На новогодний корпоратив четверо сотрудников привели по одному ребенку. Для них в течение вечера разыгрывали шесть подарков. Какова вероятность, что ни один ребенок не ушел с праздника без подарка?
Ответ:
Решение:
Задача 4
Ответ:
Решение:
Задача 5
Найти, при каких $a$ уравнение \[ \dfrac{1}{\sin^2x+\sin x}+\dfrac{1}{\sin^2x+3\sin x+2}+\dfrac{1}{\sin^2x+5\sin x+6}+\dfrac{1}{\sin^2x+7\sin x+12}=a \] не имеет решений.
Ответ:
Решение:
Задача 6
Цена на товар повышалась в последний день каждого месяца на 5, $4\frac16$, $2\frac67$ или $6\frac23$ процентов. Сколько прошло месяцев к тому моменту, когда первоначальная цена товара увеличилась ровно на 50%?
Ответ:
Решение:
Задача 7
Решить неравенство: $\frac{2}{\sqrt{x}+x^2}+\frac{2\sqrt{x}}{1+x^2}+\frac{2x^2}{\sqrt{x}+1}\geqslant 3$.
Ответ:
Решение:
Задача 8
В остроугольном треугольнике $ABC$ $\angle B=75^\circ$, длина $AC=2$ см, $H$ — точка пересечения его высот. Площадь треугольника $AHC$ равна $\sqrt{12}-3$ см$^2$. Найти площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение: