Олимпиада «Шаг в будущее»

Найдите все целые решения системы уравнений \[ \begin{cases} x+y+z=3,\\ x^3+y^3+z^3=3. \end{cases} \]

Решите неравенство \[ \sqrt{1-x^2}-\sqrt[4]{1-y^2}-\sqrt{\sqrt{1-y^2}-x^2}\geqslant 1. \]

Студент написал программу перекрашивания пикселя в один из 128 различных цветов. Эти цвета он занумеровал натуральными числами от 1 до 128, причем основные цвета получили следующие номера: белый цвет — номер 1, красный — 5, оранжевый — 13, желтый — 19, зеленый — 23, голубой — 53, синий — 55, фиолетовый — 83, черный — 128. Если исходный цвет пикселя имеет номер $n\leqslant 17$, то программа студента перекрашивает его в цвет с номером $3n-2$, а если исходный цвет пикселя имеет номер $n\geqslant 18$, то пиксель перекрашивается в цвет с номером $|129-2n|$. Изначально пиксель имел красный цвет. К нему студент последовательно применил свою программу 2019 раз. В какой цвет в результате окрасился пиксель?

Найдите все пары натуральных чисел $a$ и $b$, для которых из четырех утверждений
1. $a^2+4a+3$ делится на $b$;
2. $a^2+ab-6b^2-2a-16b-8=0$;
3. $a+2b+1$ делится на 4;
4. $a+6b+1$ — простое число
три истинны, а одно ложно.

Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ \left((1-x^2)^2+2a^2+a\right)^5-\left((3a-1)(1-x^2)+6\right)^5=2a+5+(1-3a)x^2-2a^2-(1-x^2)^2 \] имеет два различных решения на отрезке $\left[-\sqrt6/2;\,\sqrt2\right]$. Укажите эти решения для каждого найденного $a$.

В треугольнике $ABC$ с углом $A$, равным $60^\circ$, проведена биссектриса $AD$. Радиус описанной около треугольника $ADC$ окружности с центром в точке $O$ равен $2\sqrt3/3$. Найдите длину отрезка $BM$, где $M$ — точка пересечения отрезков $AD$ и $BO$, если $AB=1$.