Олимпиада «Шаг в будущее»

Решить неравенство: \[ \dfrac{|3x^2+8x-3|+|3x^4+2x^3-10x^2+30x-9|}{|x-2|-2x-1}\leqslant 0. \]

Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом её основании. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 12 см, а длины биссектрис — 15 см и 13 см.

Два повара для приготовления вишнёвого варенья смешали вишню и сахар, первый положил на две части вишни одну часть сахара, второй — на три части вишни две части сахара. Сколько килограммов каждой смеси нужно взять, чтобы получить 1,9 килограммов смеси, в которой на двенадцать частей вишни приходится семь частей сахара?

Определите количество решений уравнения \[ a\left(x+|x|-2\right)=x^2+4x-5 \] в зависимости от значений параметра $a$.

Окружность проходит через вершины $A$ и $C$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) и пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$, соответственно. $MK$, хорда этой окружности, равная по длине $2\sqrt5$, содержит точку $H$, лежащую на $AC$ и являющуюся основанием высоты треугольника $ABC$. Прямая, проходящая через точку $C$ и перпендикулярная $BC$, пересекает прямую $MN$ в точке $L$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $MKL$, если $\cos\angle ABK=\frac23$.

Существует ли натуральное число, квадрат которого равен сумме пяти попарно различных квадратов целых чисел, таких, что среди них есть число $7^2$?