Всероссийская олимпиада школьников по математике

Ученики 9 «А», 9 «Б», 9 «В» собрались на линейку. Марья Ивановна решила посчитать количество присутствующих из каждого класса. У неё получилось, что на линейке было 27 учеников из 9 «А», 29 учеников из 9 «Б» и 30 учеников из 9 «В». А Илья Григорьевич решил посчитать сразу общее количество присутствующих из всех трёх классов — у него получилось 96 учеников.
Оказалось, что при подсчёте численности каждого класса Марья Ивановна ошиблась не более чем на 2. А при подсчёте общей численности Илья Григорьевич ошибся не более чем на 4.
Сколько учеников из 9 «А» присутствовало на линейке?

На сторонах $AB$ и $AD$ прямоугольника $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $AN=7$, $NC=39$, $AM=12$, $MB=3$.
1. Найдите площадь прямоугольника $ABCD$.
2. Найдите площадь треугольника $MNC$.

Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a$ делится на $b+1$ и 43 делится на $a+b$.
1. Укажите любое возможное значение $a$.
2. Чему может быть равно $b$? Укажите все возможные варианты.

На доске нарисована пустая таблица $3\times51$. Маша хочет заполнить её клетки числами, руководствуясь следующими правилами:

• каждое из чисел 1, 2, 3, $\ldots$, 153 должно присутствовать в таблице;
• в левой нижней клетке таблицы должно стоять число 1;
• для любого натурального $a\leqslant152$ числа $a$ и $a+1$ должны стоять в соседних по стороне клетках.

1. Какое наибольшее число может стоять в клетке, соседней по стороне с числом 1?
2. Назовём клетку таблицы хорошей, если в ней может оказаться число 153. Сколько всего хороших клеток?

Стороны $AD$ и $DC$ вписанного четырёхугольника $ABCD$ равны. На стороне $BC$ отмечена точка $X$ так, что $AB=BX$. Известно, что $\angle B=34^\circ$, $\angle XDC=52^\circ$.
1. Сколько градусов составляет угол $AXC$?
2. Сколько градусов составляет угол $ACB$?

График прямой $y=kx+l$ пересекает ось $Ox$ в точке $B$, ось $Oy$ — в точке $C$, график функции $y=1/x$ — в точках $A$ и $D$, как изображено на рисунке. Оказалось, что $AB=BC=CD$. Найдите $k$, если известно, что $OC=3$.

Перед сладкоежкой лежат пять коробок с конфетами: в первой коробке 11 конфет, во второй — 22 конфеты, в третьей — 33 конфеты, в четвёртой — 44 конфеты, в пятой — 55 конфет. За один ход сладкоежка может взять из одной коробки четыре конфеты и разложить их по одной конфете в оставшиеся четыре коробки.
В любой момент сладкоежка может забрать конфеты из любой коробки и уйти. Какое наибольшее количество конфет он сможет забрать?

Для действительных чисел $x$ и $y$ определим операцию $\star$ следующим образом: \[x\star y=xy+4y-3x.\] Вычислите значение выражения \[\Biggl(\biggl(\ldots\Bigl(\bigl((2022\star2021)\star2020\bigr)\star2019\Bigr)\star\ldots\biggr)\star2\Biggr)\star1.\]