Многоугольники

В прямоугольной трапеции острый угол и угол, который составляет меньшая диагональ с меньшим основанием, равны. Найти отношение оснований.

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите, что расстояние между основаниями трапеции (т.е. высота трапеции) равно полусумме оснований.
Указание. Из точки пересечения диагоналей трапеции опустите перпендикуляры на верхнее и нижнее основание.

В трапецию $ABCD$ можно вписать окружность, то есть внутри трапеции существует точка $O$ (центр окружности), равноудалённая от прямых, содержащих стороны трапеции. Доказать, что $AB+CD=BC+AD$.
Указание. Пусть $OK$ и $OM$ — перпендикуляры, опущенные на боковую сторону $AB$ и основание $BC$ трапеции. Воспользовавшись признаком равенства прямоугольных треугольников, докажите равенство треугольников $OKB$ и $OMB$.

Докажите, что биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на её средней линии. (Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям).
Указание. В треугольнике, образованном биссектрисами и боковой стороной, проведите медиану к боковой стороне.

Основания трапеции равны 10 и 4. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.
Указание. Продлите искомый отрезок до пересечения с одной из боковых сторон и воспользуйтесь свойством средней линии треугольника: отрезок, соединяющий в треугольнике середины двух сторон, параллелен третьей стороне и равен её половине.

Основания трапеции равны 9 и 5. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.
Указание. Продлите искомый отрезок до пересечения с одной из боковых сторон и воспользуйтесь свойством средней линии треугольника: отрезок, соединяющий в треугольнике середины двух сторон, параллелен третьей стороне и равен её половине.

Сумма длин оснований трапеции равна 10, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 3. Углы при большем основании трапеции равны $30^{\circ}$ и $60^{\circ}$. Найти основания и меньшую боковую сторону трапеции.
Указание. Через середину меньшего основания проведите прямые, параллельные боковым сторонам трапеции.

Сумма длин оснований трапеции равна 12, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 5. Углы при большем основании трапеции равны $30^{\circ}$ и $60^{\circ}$. Найти основания и меньшую боковую сторону трапеции.
Указание. Через середину меньшего основания проведите прямые, параллельные боковым сторонам трапеции.

Через вершины $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$ проведены прямые, параллельные противолежащим сторонам. Эти прямые пересекаются в точках $C_{1}$, $A_{1}$ и $B_{1}$. Докажите, что стороны треугольника $ABC$ являются средними линиями треугольника $A_{1}B_{1}C_{1}$.

На сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ четырёхугольника $ABCD$ отмечены соответственно точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ так, что $AM=CP$, $BN=DQ$, $BM=DP$, $NC=QA$. Докажите, что $ABCD$ и $MNPQ$ — параллелограммы.

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$; прямая, проведённая через точку $D$ параллельно $CA$, пересекает сторону $AB$ в точке $E$; прямая, проведённая через точку $E$ параллельно $BC$, пересекает сторону $AC$ в $F$. Докажите, что $EA=FC$.

Точки $K$, $L$, $M$ и $N$ — середины сторон соответственно $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$. Докажите, что четырёхугольник с вершинами в точках пересечения прямых $AL$, $BM$, $CN$ и $DK$ — параллелограмм.

Периметр параллелограмма равен 90, а острый угол равен $60^{\circ}$. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении $1:3$. Найдите стороны параллелограмма.

Найти среднюю линию трапеции, если известно, что она в $1{,}5$ раза больше меньшего основания и на 9 меньше большего основания трапеции.

Найти среднюю линию трапеции, если известно, что она в $1{,}25$ раза больше меньшего основания и на 6 меньше большего основания трапеции.

Найти среднюю линию трапеции, если известно, что она в $1{,}5$ раза больше меньшего основания и на 12 меньше большего основания трапеции.

Найти среднюю линию трапеции, если известно, что она в $1{,}25$ раза больше меньшего основания и на 5 меньше большего основания трапеции.

Высота равнобокой трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых в 5 раз длиннее другого. Найти отношение оснований трапеции.

Высота равнобокой трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых в 4 раза длиннее другого. Найти отношение оснований трапеции.

Высота равнобокой трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых в 6 раз длиннее другого. Найти отношение оснований трапеции.