Разное

Дан правильный тетраэдр $SABC$ с ребром $4$. Через центр $O$ основания $ABC$ тетраэдра проведена плоскость $\alpha$, параллельная $BC$ и пересекающая ребро $AS$ в некоторой точке $K$. Построить сечение тетраэдра плоскостью $\alpha$. Найти отношение $AK:KP$, если площадь такого сечения составляет половину площади боковой грани тетраэдра.

Найти наименьшее значение функции $\displaystyle y=f(x)=\log_{\frac13}(-x^2-6x)$ и указать значение $x$, при котором оно достигается.

Найти наибольшее значение функции $\displaystyle y=f(x)=\log_{\sqrt5}(5-|x+2|)$ и указать значение $x$, при котором оно достигается.

Решить уравнение: $\log_5(x^2+2x+6)=-\cos(\pi x)$

Решить уравнение: $\log_2(|2x+5|+2)=\sin(\pi x - 5)$.

В неориентированном графе $G=(V; E)$, заданном множеством вершин $V=\{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ и множеством рёбер $$E=\{(1, 5); (1, 6); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6); (3, 4); (3, 5); (3, 6); (4, 5); (4, 6)\},$$найти эйлеров цикл.

В неориентированном графе $G=(V; E)$, заданном множеством вершин $V=\{1; 2; 3; 4; 5\}$ и множеством рёбер $$E=\{(1, 2); (1, 4); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (3, 4); (4, 5)\},$$найти эйлеров цикл.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\ln(6a-x)\ln(2x+2a-2)=\ln(6a-x)\ln(x-a)$$ имеет ровно один корень на $[0;~1]$.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$(5x-2)\ln(x+a)=(5x-2)\ln(2x-a)$$ имеет ровно один корень на $[0;~1]$.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$(3x-1)\ln(4x-a)=(3x-1)\ln(3x+a)$$ имеет ровно один корень на $[0;~1]$.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\ln(3a-x)\ln(2x+2a-5)=\ln(3a-x)\ln(x-a)$$ имеет ровно один корень на $[0;~2]$.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{4x-1}\ln(x^2-2x+2-a^2)=0$$ имеет ровно один корень на $[0;~1]$.

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Точки $M$ и $N$ — середины $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $B$ и $C$, пересекает отрезки $BM$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ (отличных от концов отрезков) соответственно.
а) Докажите, что точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $QN$, если отрезки $DP$ и $PC$ перпендикулярны, $AB=21$, $BC=4$, $CD=20$, $AD=17$.

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность, проходящая через вершины $B$ и $C$, пересекает боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно, причём точка $P$ лежит между $B$ и $M$, а точка $Q$ — между $C$ и $N$.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $PM$ и $QN$, если известно, что $AQ\perp BQ$, $AB=8$, $BC=1$, $CD=10$, $AD=7$.

В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=24$, $BC=7$. Боковые рёбра $SA=\sqrt{51}$, $SB=\sqrt{627}$, $SD=10$.
а) Докажите, что $SA$ — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми $SC$ и $BD$.

В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=5$ и $BC=12$. Боковые рёбра $SA$, $SB$ и $CD$ равны $2\sqrt{14}$, 9 и $10\sqrt{2}$ соответственно.
а) Докажите, что $SA$ — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми $SC$ и $BD$.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 17 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
• в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит $3{,}4$ млн рублей?

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
• в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно $30\,035$.
а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 325?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 7?
в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно $30\,033$.
а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 303?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 31?
в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.