Задача
№ 10778
Сфера, касающаяся рёбер или граней многогранника
Ур. 6
МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике, 2007, вариант 3, задача 6
В пирамиде $ABCD$ грани $ABC$ и $ADC$ являются равнобедренными треугольниками с общим основанием $AC$. Сфера радиуса $R$ с центром в точке $O$, лежащей на грани $ABC$, касается всех рёбер пирамиды $ABCD$. Найти длины отрезков, на которые точки касания сферы делят рёбра пирамиды, и объём пирамиды $ABCD$, если угол $ABC$ равен $2\alpha$. Найти значение угла $ABC$, при котором объём пирамиды $ABCD$ будет наименьшим. Найти это наименьшее значение объёма пирамиды $ABCD$.
Ответ:
Решение: