МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Решить систему уравнений \[\begin{cases} xy+2x+3y=2,\\ 2x^2y+3xy^2+12x+18y=16.\end{cases}\]

Решить неравенство \[\log_{(x-1)^4}(4-x)^2+\log_{(1-x)^2}(x+1)\leqslant 1.\]

Решить уравнение \[\operatorname{tg}\left(\dfrac{2\pi\cos^2x+\pi}{4\cos^6x+1}\right)+\operatorname{ctg}\left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4\cos^6x+1}\right)=0.\]

Окружность касается стороны $AD$ четырёхугольника $ABCD$ в точке $D$, а стороны $BC$ — в её середине $M$. Диагональ $AC$ пересекает окружность в точках $K$ и $L$ ($AK\lt AL$). Известно, что $AK=5$, $KL=4$, $LC=1$. Лучи $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $S$, причём $\angle ASB=120^\circ$. Найти радиус окружности и площадь $ABCD$.

Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение \[\dfrac12(\cos x)^{\frac23}+(\sin x)^{\frac23}=a\] имеет единственное решение на отрезке $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$.

В пирамиде $ABCD$ грани $ABC$ и $ADC$ являются равнобедренными треугольниками с общим основанием $AC$. Сфера радиуса $R$ с центром в точке $O$, лежащей на грани $ABC$, касается всех рёбер пирамиды $ABCD$. Найти длины отрезков, на которые точки касания сферы делят рёбра пирамиды, и объём пирамиды $ABCD$, если угол $ABC$ равен $2\alpha$. Найти значение угла $ABC$, при котором объём пирамиды $ABCD$ будет наименьшим. Найти это наименьшее значение объёма пирамиды $ABCD$.