Задача
№ 13048
Случайные процессы: блуждания, цепи Маркова
Ур. 6
Олимпиада МЦНМО по теории вероятностей и статистике, 6–11 классы, основной тур, 2020, задача 11
Производитель шоколадных яиц с игрушкой внутри объявил, что выпускается новая коллекция «Нильская семейка», в которой десять разных обаятельных крокодилов. Крокодилы равномерно и случайно распределены по шоколадным яйцам, то есть в случайно выбранном яйце каждый из крокодилов может оказаться с вероятностью 0,1.
Близнецы Лёша и Гоша захотели собрать две коллекции — по одной на брата. Каждый день мама покупает им по одному яйцу. Наступил момент, когда первая коллекция была, наконец, собрана.
Обозначим $p_k$ вероятность того, что к моменту завершения первой коллекции во второй коллекции недостаёт ровно $k$ крокодилов.
а) Докажите, что $p_1=p_2$.
б) Докажите, что: $p_2\gt p_3\gt p_4\gt \ldots\gt p_{10}$.
Близнецы Лёша и Гоша захотели собрать две коллекции — по одной на брата. Каждый день мама покупает им по одному яйцу. Наступил момент, когда первая коллекция была, наконец, собрана.
Обозначим $p_k$ вероятность того, что к моменту завершения первой коллекции во второй коллекции недостаёт ровно $k$ крокодилов.
а) Докажите, что $p_1=p_2$.
б) Докажите, что: $p_2\gt p_3\gt p_4\gt \ldots\gt p_{10}$.
Ответ:
Решение: