Игральную кость бросают раз за разом. Обозначим $P_n$ вероятность того, что в какой-то момент сумма очков, выпавших при всех сделанных бросках, равна $n$. Докажите, что при $n\geqslant 7$ верно равенство $P_n=\frac{P_{n-1}+P_{n-2}+\ldots+P_{n-6}}{6}$.
Ответ:
Решение:
Точка выходит из начала координат на прямой и делает $a$ шагов на единицу вправо, $b$ шагов на единицу влево в каком-то порядке, причём $a\gt b$. Размахом блуждания точки назовём разность между наибольшей и наименьшей координатами точки за всё время блуждания.
а) Найдите наибольший возможный размах блуждания.
б) Найдите наименьший возможный размах.
в) Сколько существует различных последовательностей движения точки, при которых размах блуждания будет наибольшим возможным?
а) Найдите наибольший возможный размах блуждания.
б) Найдите наименьший возможный размах.
в) Сколько существует различных последовательностей движения точки, при которых размах блуждания будет наибольшим возможным?
Ответ:
Решение:
На рулетке может выпасть любое число от 0 до 2007 с одинаковой вероятностью. Рулетку крутят раз за разом. Обозначим $P_k$ вероятность того, что в какой-то момент сумма чисел, выпавших при всех сделанных бросках, равна $k$. Какое число больше: $P_{2007}$ или $P_{2008}$?
Ответ:
Решение:
По условиям шахматного матча победителем объявляется тот, кто опередил соперника на две победы. Ничьи в счет не идут. Вероятности выигрыша у соперников одинаковы. Число результативных партий в таком матче — величина случайная. Найдите ее математическое ожидание.
Ответ:
Решение:
Правильная игральная кость бросается много раз. Найдите математическое ожидание числа бросков, сделанных до того момента, когда сумма всех выпавших очков достигнет 2010.
Ответ:
Решение:
На шкуре у Носорога складки — вертикальные и горизонтальные. Если у Носорога на левом боку $a$ вертикальных, $b$ горизонтальных складок, а на правом — $c$ вертикальных и $d$ горизонтальных, будем говорить, что это Носорог в состоянии $((a;b);(c;d))$ или просто Носорог $((a;b);(c;d))$.
Если Носорог чешется каким-то боком о баобаб вверх-вниз и у Носорога на этом боку найдутся две горизонтальные складки, то эти две горизонтальные складки разглаживаются. Если двух горизонтальных складок нет, то ничего не происходит.
Аналогично, если Носорог чешется боком вперед-назад и на этом боку найдутся две вертикальные складки, то они разглаживаются, если же таких двух складок не найдется, то ничего не происходит.
Если на каком-то боку две какие-то складки разглаживаются, то на другом боку немедленно появляется одна вертикальная складка и одна горизонтальная.
Носороги чешутся часто, случайным боком, о случайные баобабы в случайных направлениях.
Вначале в саванне было стадо Носорогов $((0;2);(2;1))$. Докажите, что через некоторое время в саванне появится Носорог $((2;0);(2;1))$.
Если Носорог чешется каким-то боком о баобаб вверх-вниз и у Носорога на этом боку найдутся две горизонтальные складки, то эти две горизонтальные складки разглаживаются. Если двух горизонтальных складок нет, то ничего не происходит.
Аналогично, если Носорог чешется боком вперед-назад и на этом боку найдутся две вертикальные складки, то они разглаживаются, если же таких двух складок не найдется, то ничего не происходит.
Если на каком-то боку две какие-то складки разглаживаются, то на другом боку немедленно появляется одна вертикальная складка и одна горизонтальная.
Носороги чешутся часто, случайным боком, о случайные баобабы в случайных направлениях.
Вначале в саванне было стадо Носорогов $((0;2);(2;1))$. Докажите, что через некоторое время в саванне появится Носорог $((2;0);(2;1))$.
Ответ:
Решение:
Илья Муромец встречает трехголового Змея Горыныча и начинается битва. Каждую минуту Илья отрубает Змею одну голову. С вероятностью $\frac14$ на месте срубленной головы вырастает две новых, с вероятностью $\frac13$ — только одна новая голова и с вероятностью $\frac{5}{12}$ — ни одной головы. Змей считается побежденным, если у него не осталось ни одной головы. Найдите вероятность того, что рано или поздно Илья победит Змея.
Ответ:
Решение:
На клавиатуре калькулятора есть цифры от 0 до 9 и знаки двух действий (см. рисунок). Вначале на дисплее написано число 0. Можно нажимать любые клавиши. Калькулятор выполняет действия в последовательности нажатий. Если знак действия нажать подряд несколько раз, то калькулятор запомнит только последнее нажатие. Учёный нажал очень много кнопок в случайной последовательности. Найдите приблизительно вероятность, с которой результат получившейся цепочки действий нечетное число?
Ответ:
Решение:
Случилось так, что у Рассеянного Учёного осталось только 20 рублей, а ему нужно купить билет на автобус, чтобы ехать домой. Билет стоит 45 р. Рядом с автобусной остановкой продаются билеты моментальной лотереи как раз по 10 р. за штуку. С вероятностью $p=0{,}1$ билет содержит выигрыш 30 р., а других выигрышей нет. Учёный решил рискнуть, поскольку терять ему нечего. Найдите вероятность того, что Рассеянный Учёный сумеет выиграть достаточно денег, чтобы купить билет на автобус.
Ответ:
Решение:
В зимнем лагере в комнате живут Ваня и Гриша. Каждый вечер они бросают жребий, кому гасить свет перед сном: дело в том, что выключатель около двери, и проигравшему приходится идти к кровати в полной темноте, натыкаясь на стулья.
Обычно Ваня и Гриша бросают жребий без затей, но в этот раз Гриша придумал особенный жребий:
— Давай бросать монету. Если при каком-то чётном броске выпадет орёл, то дальше монету не бросаем: я выиграл. Если же при каком-то нечётном броске выпадет решка, то выиграл ты.
а) Какова вероятность выигрыша Гриши?
б) Найдите математическое ожидание числа бросков монеты до окончания жребия.
Обычно Ваня и Гриша бросают жребий без затей, но в этот раз Гриша придумал особенный жребий:
— Давай бросать монету. Если при каком-то чётном броске выпадет орёл, то дальше монету не бросаем: я выиграл. Если же при каком-то нечётном броске выпадет решка, то выиграл ты.
а) Какова вероятность выигрыша Гриши?
б) Найдите математическое ожидание числа бросков монеты до окончания жребия.
Ответ:
Решение:
Рассеянный Ученый в своей лаборатории вывел одноклеточный организм, который с вероятностью 0,6 делится на два таких же организма, а с вероятностью 0,4 погибает, не оставив потомства. Найдите вероятность того, что через некоторое время у Рассеянного Ученого не останется ни одного такого организма.
Ответ:
Решение:
Вдоль дороги стоит 9 фонарей. Если перегорел один из них, а соседние светят, то дорожная служба не беспокоится. Но если перегорают два фонаря подряд, то дорожная служба сразу меняет все перегоревшие фонари. Каждый фонарь перегорает независимо от других.
а) Найдите вероятность того, что при очередной замене придется поменять ровно 4 фонаря.
б) Найдите математическое ожидание числа фонарей, которые придется поменять при очередной замене.
а) Найдите вероятность того, что при очередной замене придется поменять ровно 4 фонаря.
б) Найдите математическое ожидание числа фонарей, которые придется поменять при очередной замене.
Ответ:
Решение:
Идет обычный футбольный матч. Ничья возможна. Время ожидания очередного гола не зависит от предыдущих событий матча. Известно, что математическое ожидание общего числа голов в футбольных матчах этих команд равно 2,8. Найдите вероятность того, что в течение матча будет забито четное число голов.
Ответ:
Решение:
Две хоккейные команды одинаковой силы договорились, что будут играть до тех пор, пока суммарный счёт не достигнет 10. Найдите математическое ожидание числа моментов, когда наступала ничья.
Ответ:
Решение:
Каждое утро Рассеянный Учёный идёт на работу, а вечером — домой. Всего у Учёного два зонтика, и Учёный берёт один из них с собой только в одном из двух случаев: либо на улице дождь, либо там, куда он идёт, зонтика нет. Через некоторое время Учёный подсчитал (а мы помним, что Рассеянный Учёный всё подсчитывает), что он берёт с собой зонтик в 20 % случаев. Найдите вероятность дождя.
Ответ:
Решение:
У кота Базилио и лисы Алиса не осталось ни сольдо. И тогда они нанялись ставить и убирать декорации в театре Карабаса-Барабаса. Каждый вечер после спектакля Карабас даёт им монету в один сольдо, и между котом и лисой немедленно начинается драка.
С вероятностью 0,25 побеждает кот и забирает монету себе, с вероятностью 0,25 побеждает лиса и забирает монету себе, а с вероятностью 0,5 обоих отводят в полицию и отбирают у них все деньги (не только сегодняшние, а вообще все). Вопрос: на сколько сольдо у одного из компаньонов окажется больше, чем у другого к концу 10-го дня подработки (модуль разности их состояний)? Найдите математическое ожидание этой величины.
С вероятностью 0,25 побеждает кот и забирает монету себе, с вероятностью 0,25 побеждает лиса и забирает монету себе, а с вероятностью 0,5 обоих отводят в полицию и отбирают у них все деньги (не только сегодняшние, а вообще все). Вопрос: на сколько сольдо у одного из компаньонов окажется больше, чем у другого к концу 10-го дня подработки (модуль разности их состояний)? Найдите математическое ожидание этой величины.
Ответ:
Решение:
Правильную игральную кость бросают до тех пор, пока сумма последовательно выпадающих очков не достигнет числа 2019 (станет равна 2019 или больше). Докажите, что вероятность события «при последнем броске выпадет 6 очков» больше, чем $\frac{1}{6}$.
Утверждение задачи выглядит парадоксально — последний бросок ничем не хуже никакого из предыдущих и не зависит от них. Казалось бы, число 6 выпадает с вероятностью $\frac{1}{6}$ независимо от того, первый это бросок или последний.
Утверждение задачи выглядит парадоксально — последний бросок ничем не хуже никакого из предыдущих и не зависит от них. Казалось бы, число 6 выпадает с вероятностью $\frac{1}{6}$ независимо от того, первый это бросок или последний.
Ответ:
Решение:
Производитель шоколадных яиц с игрушкой внутри объявил, что выпускается новая коллекция «Нильская семейка», в которой десять разных обаятельных крокодилов. Крокодилы равномерно и случайно распределены по шоколадным яйцам, то есть в случайно выбранном яйце каждый из крокодилов может оказаться с вероятностью 0,1.
Близнецы Лёша и Гоша захотели собрать две коллекции — по одной на брата. Каждый день мама покупает им по одному яйцу. Наступил момент, когда первая коллекция была, наконец, собрана.
Обозначим $p_k$ вероятность того, что к моменту завершения первой коллекции во второй коллекции недостаёт ровно $k$ крокодилов.
а) Докажите, что $p_1=p_2$.
б) Докажите, что: $p_2\gt p_3\gt p_4\gt \ldots\gt p_{10}$.
Близнецы Лёша и Гоша захотели собрать две коллекции — по одной на брата. Каждый день мама покупает им по одному яйцу. Наступил момент, когда первая коллекция была, наконец, собрана.
Обозначим $p_k$ вероятность того, что к моменту завершения первой коллекции во второй коллекции недостаёт ровно $k$ крокодилов.
а) Докажите, что $p_1=p_2$.
б) Докажите, что: $p_2\gt p_3\gt p_4\gt \ldots\gt p_{10}$.
Ответ:
Решение:
Имитировать случайные процессы человеку трудно. Даже серию бросаний монеты придумать «из головы» почти невозможно. Одна из причин в том, что в длинной серии человек подсознательно старается не допустить «слишком много» орлов или решек подряд. В действительно случайной серии, как правило, встречаются довольно длинные группы, состоящие только из орлов или только из решек. Например, при 100 бросаниях монеты, скорее всего (с вероятностью около 0,54), встретятся 7 орлов или 7 решек подряд, а математическое ожидание наибольшей длины такой группы равно приблизительно 6,98.
Если монета $k$ раз подряд выпала одной и той же стороной вверх, будем называть такую подпоследовательность группой длины $k$.
Например, в последовательности ОРРРООРР четыре группы, длины которых равны 1, 3, 2 и 2.
Обозначим $p_{n,k}$ вероятность того, что в серии из $n$ бросаний симметричной монеты содержится группа длины $k$ или больше ($k\lt n$). Выведите рекуррентную формулу $$p_{n,k}=p_{n-1,k}-\frac{1}{2^k}\,p_{n-k,k}+\frac{1}{2^k}.$$
Если монета $k$ раз подряд выпала одной и той же стороной вверх, будем называть такую подпоследовательность группой длины $k$.
Например, в последовательности ОРРРООРР четыре группы, длины которых равны 1, 3, 2 и 2.
Обозначим $p_{n,k}$ вероятность того, что в серии из $n$ бросаний симметричной монеты содержится группа длины $k$ или больше ($k\lt n$). Выведите рекуррентную формулу $$p_{n,k}=p_{n-1,k}-\frac{1}{2^k}\,p_{n-k,k}+\frac{1}{2^k}.$$
Ответ:
Решение:
В январе доктор дал Рассеянному Ученому упаковку с 10 таблетками от рассеянности. Ученый хранит таблетки в шкафчике. Когда Ученого одолевает приступ рассеянности (а это бывает несколько раз в неделю в случайные моменты времени), он открывает шкафчик, берет с полочки упаковку, принимает таблетку и смотрит, сколько всего таблеток от рассеянности у него осталось. Если Ученый видит, что у него осталась только одна таблетка, он немедленно заказывает точно такую же новую упаковку в аптеке с моментальной доставкой и тут же кладет ее в тот же шкафчик на ту же полочку.
Если Ученый видит, что очередная упаковка опустела, он тут же ее выбрасывает в мусорное ведро.
Какова вероятность того, что в 10 часов утра 31 декабря у Рассеянного Ученого в шкафчике будет ровно две упаковки с таблетками от рассеянности?
Если Ученый видит, что очередная упаковка опустела, он тут же ее выбрасывает в мусорное ведро.
Какова вероятность того, что в 10 часов утра 31 декабря у Рассеянного Ученого в шкафчике будет ровно две упаковки с таблетками от рассеянности?
Ответ:
Решение: