Задача
№ 13128
Сложение и умножение вероятностей
Ур. 5
Олимпиада МЦНМО по теории вероятностей и статистике, 6–11 классы, основной тур, 2021, задача 10
Незнайка решал следующую задачу. «Дан набор из 20 случайных цифр. Найдите вероятность того, что произведение этих цифр оканчивается на 0». Незнайка рассуждал так.
Если набор содержит цифру 0, то произведение цифр точно оканчивается на 0. Вероятность этого равна $1-\left(\frac{9}{10}\right)^{20}$. Если номер не содержит 0 (вероятность этого $\left(\frac{9}{10}\right)^{20}$), то, чтобы произведение было нулевым, он должен содержать хотя бы одну чётную цифру и цифру 5.
Всего есть девять ненулевых цифр, из них только четыре чётные. Вероятность того, что все цифры нечётные, равна $\left(\frac{5}{9}\right)^{20}$, значит, вероятность того, что есть хотя бы одна чётная цифра, равна $1-\left(\frac{5}{9}\right)^{20}$.
После того как мы удостоверились, что в номере нет нуля, но есть чётная цифра, надо убедиться в том, что есть цифра 5. Условная вероятность того, что пятёрки нет, при условии, что есть чётная цифра, равна $\left(\frac{8}{9}\right)^{19}$, ведь одна позиция занята чётной цифрой, так что пятёрка на этой позиции точно стоять не будет, остаётся 19 позиций, и пятёрка отсутствует, если на каждой из них одна из восьми цифр (не 5 и не 0). Поэтому условная вероятность того, что пятёрка есть, равна $1-\left(\frac{8}{9}\right)^{19}$. Следовательно, искомая вероятность равна $$\left(1-\left(\frac{9}{10}\right)^{20}\right)+\left(\frac{9}{10}\right)^{20}\cdot\left(1-\left(\frac{5}{9}\right)^{20}\right)\cdot\left(1-\left(\frac{8}{9}\right)^{19}\right)\approx 0{,}987.$$
Знайка провёл эксперимент: он сгенерировал на компьютере 1000 случайных последовательностей по 20 цифр в каждой и нашёл долю тех последовательностей, где произведение цифр оканчивалось нулём. Эксперимент дал результат близкий к ответу Незнайки. Расхождение оказалось совсем небольшим и, возможно, случайным, если Незнайка правильно решил задачу. Или не случайным?
Повторите эксперимент Знайки несколько раз. Удаётся ли с помощью эксперимента подтвердить или опровергнуть правоту Незнайки? Если Незнайка все же ошибся, то как правильно решить задачу?
Если набор содержит цифру 0, то произведение цифр точно оканчивается на 0. Вероятность этого равна $1-\left(\frac{9}{10}\right)^{20}$. Если номер не содержит 0 (вероятность этого $\left(\frac{9}{10}\right)^{20}$), то, чтобы произведение было нулевым, он должен содержать хотя бы одну чётную цифру и цифру 5.
Всего есть девять ненулевых цифр, из них только четыре чётные. Вероятность того, что все цифры нечётные, равна $\left(\frac{5}{9}\right)^{20}$, значит, вероятность того, что есть хотя бы одна чётная цифра, равна $1-\left(\frac{5}{9}\right)^{20}$.
После того как мы удостоверились, что в номере нет нуля, но есть чётная цифра, надо убедиться в том, что есть цифра 5. Условная вероятность того, что пятёрки нет, при условии, что есть чётная цифра, равна $\left(\frac{8}{9}\right)^{19}$, ведь одна позиция занята чётной цифрой, так что пятёрка на этой позиции точно стоять не будет, остаётся 19 позиций, и пятёрка отсутствует, если на каждой из них одна из восьми цифр (не 5 и не 0). Поэтому условная вероятность того, что пятёрка есть, равна $1-\left(\frac{8}{9}\right)^{19}$. Следовательно, искомая вероятность равна $$\left(1-\left(\frac{9}{10}\right)^{20}\right)+\left(\frac{9}{10}\right)^{20}\cdot\left(1-\left(\frac{5}{9}\right)^{20}\right)\cdot\left(1-\left(\frac{8}{9}\right)^{19}\right)\approx 0{,}987.$$
Знайка провёл эксперимент: он сгенерировал на компьютере 1000 случайных последовательностей по 20 цифр в каждой и нашёл долю тех последовательностей, где произведение цифр оканчивалось нулём. Эксперимент дал результат близкий к ответу Незнайки. Расхождение оказалось совсем небольшим и, возможно, случайным, если Незнайка правильно решил задачу. Или не случайным?
Повторите эксперимент Знайки несколько раз. Удаётся ли с помощью эксперимента подтвердить или опровергнуть правоту Незнайки? Если Незнайка все же ошибся, то как правильно решить задачу?
Ответ:
Решение: