Олимпиада МЦНМО по теории вероятностей и статистике

В Анчурии одна река Рио-Бланко, которая берёт начало где-то в горах и впадает в океан, и всего пять городов: Сан-Матео, Аласан, Коралио, Альфоран и Солитас.
На рисунке показана карта Анчурии, но названий городов нет, города отмечены цифрами. В таблице даны некоторые общие сведения обо всех пяти городах. Определите, где какой город на карте.

Точная карта Анчурии (картограф Николай Крутиков)
Города Анчурии

Город	Площадь (кв. мили)	Население (тыс. чел.)	Основная статья дохода	Высота центра города над уровнем моря (в футах)	Источник пресной воды
Сан-Матео	$18{,}3$	$120{,}2$	Сувенирная промышленность	117	р. Рио-Бланко
Коралио	$8{,}4$	$30{,}3$	Экспорт обуви	5	р. Рио-Бланко
Аласан	$12{,}0$	$45{,}9$	Банановодство	349	Колодцы и скважины
Альфоран	$9{,}4$	$19{,}6$	Доходы от проведения турниров по шашкам	593	р. Рио-Бланко
Солитас	$4{,}1$	$8{,}4$	Нет доходов	232	р. Рио-Бланко

Маша, Нина, Лена и Оля — подруги. Все они разного роста, но разница совсем невелика — на глаз не определить. Однажды они решили узнать, кто выше, а кто ниже. Оказалось, что Нина ниже Маши, а Лена выше Оли. Какова при этом условии вероятность того, что Нина выше Лены?

При испытании нового учебника по математике в эксперименте приняли участие примерно одинаковые по численности параллели седьмых классов из двух школ. В каждой школе часть семиклассников училась по экспериментальному учебнику, а часть — по обычному старому учебнику. В конце учебного года был проведен итоговый тест, который показал, насколько хорошо семиклассники освоили учебный материал.
Результаты теста в 1-й школе

	Учились по экспериментальному учебнику	Учились по обычному учебнику
Выполнили тест хорошо	30 %	15 %
Выполнили тест плохо	35 %	20 %
Доля тех, кто выполнил хорошо	$0{,}46$	$0{,}43$

Результаты теста во 2-й школе

	Учились по экспериментальному учебнику	Учились по обычному учебнику
Выполнили тест хорошо	20 %	45 %
Выполнили тест плохо	10 %	25 %
Доля тех, кто выполнил тест хорошо	$0{,}67$	$0{,}64$

В обеих школах доля тех, кто выполнил тест хорошо, оказалась выше в группе тех, кто учился по экспериментальному учебнику. Поэтому был сделан вывод, что новый учебник обеспечивает более высокое качество образования.
Только Рассеянный Учёный выступил против нового учебника и ко всеобщему удивлению заявил, что те, кто учился по новому учебнику, сдали тест в среднем хуже, чем те, кто учился по старому.
Кто прав?

Турнир по анчурийским шашкам проводится в несколько туров. Если в туре участвует чётное число игроков, то они разбиваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётно, то с помощью жребия выбираются случайные игровые пары, а один игрок остается без пары и не участвует в туре. Ничьей случиться не может, проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победители и игрок без пары, если он есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся двое, которые играют между собой финальный тур, то есть последнюю партию, которая выявляет победителя турнира.
На турнир по анчурийским шашкам приехало 26 участников, причем все они играют одинаково хорошо, то есть в партии, которую играют любые двое, шансы соперников одинаковы. Среди игроков Денис и Олег. Найдите вероятность того, что они сыграют между собой.

Шахматный король находится на поле a1 шахматной доски и хочет пройти на поле h8, двигаясь вправо, вверх или вправо-вверх. Сколькими способами он может это сделать?

Буратино каждый месяц играет в лотерею «6 из 45», устроенную Карабасом-Барабасом. В лотерее 45 пронумерованных шаров, и в каждом тираже выпадает 6 случайных выигрышных шаров.
Буратино заметил, что в каждом следующем тираже не бывает шаров, выпавших в предыдущем тираже: во втором тираже не было шаров из первого, в третьем — из второго и т. д.
Буратино не верит в события, вероятность которых меньше чем 0,01. Если происходит такое событие, то Буратино начинает подозревать неладное. После какого тиража Буратино начнет подозревать, что Карабас-Барабас жульничает?

Незнайка решал следующую задачу. «Дан набор из 20 случайных цифр. Найдите вероятность того, что произведение этих цифр оканчивается на 0». Незнайка рассуждал так.
Если набор содержит цифру 0, то произведение цифр точно оканчивается на 0. Вероятность этого равна $1-\left(\frac{9}{10}\right)^{20}$. Если номер не содержит 0 (вероятность этого $\left(\frac{9}{10}\right)^{20}$), то, чтобы произведение было нулевым, он должен содержать хотя бы одну чётную цифру и цифру 5.
Всего есть девять ненулевых цифр, из них только четыре чётные. Вероятность того, что все цифры нечётные, равна $\left(\frac{5}{9}\right)^{20}$, значит, вероятность того, что есть хотя бы одна чётная цифра, равна $1-\left(\frac{5}{9}\right)^{20}$.
После того как мы удостоверились, что в номере нет нуля, но есть чётная цифра, надо убедиться в том, что есть цифра 5. Условная вероятность того, что пятёрки нет, при условии, что есть чётная цифра, равна $\left(\frac{8}{9}\right)^{19}$, ведь одна позиция занята чётной цифрой, так что пятёрка на этой позиции точно стоять не будет, остаётся 19 позиций, и пятёрка отсутствует, если на каждой из них одна из восьми цифр (не 5 и не 0). Поэтому условная вероятность того, что пятёрка есть, равна $1-\left(\frac{8}{9}\right)^{19}$. Следовательно, искомая вероятность равна $$\left(1-\left(\frac{9}{10}\right)^{20}\right)+\left(\frac{9}{10}\right)^{20}\cdot\left(1-\left(\frac{5}{9}\right)^{20}\right)\cdot\left(1-\left(\frac{8}{9}\right)^{19}\right)\approx 0{,}987.$$
Знайка провёл эксперимент: он сгенерировал на компьютере 1000 случайных последовательностей по 20 цифр в каждой и нашёл долю тех последовательностей, где произведение цифр оканчивалось нулём. Эксперимент дал результат близкий к ответу Незнайки. Расхождение оказалось совсем небольшим и, возможно, случайным, если Незнайка правильно решил задачу. Или не случайным?
Повторите эксперимент Знайки несколько раз. Удаётся ли с помощью эксперимента подтвердить или опровергнуть правоту Незнайки? Если Незнайка все же ошибся, то как правильно решить задачу?

Тридцать шесть игроков играют в игру: из карточной колоды, в которой 36 карт, они по очереди выбирают по случайной карте. Если игроку попался туз бубен, то игрок выиграл; если же попалась другая карта, игрок возвращает её в колоду, и карту тянет следующий игрок. Так они тянут карты по кругу: сначала первый, затем второй и т. д. Если на первом круге никому не попался туз бубен, игроки в том же порядке тянут карты по второму кругу. Это продолжается до тех пор, пока кто-то из них не вытянет туза бубен.
Предположим, что перед началом игры игроки сделали ставки, и выигравший забирает их все. Как должны относиться ставки игроков, чтобы игра стала безобидной, то есть математические ожидания выигрыша у всех игроков оказались равны между собой (то есть равны нулю с учётом внесенной суммы)?

В зимнем лагере в комнате живут Ваня и Гриша. Каждый вечер они бросают жребий, кому гасить свет перед сном: дело в том, что выключатель около двери, и проигравшему приходится идти к кровати в полной темноте, натыкаясь на стулья.
Обычно Ваня и Гриша бросают жребий без затей, но в этот раз Гриша придумал особенный жребий:
— Давай бросать монету. Если при каком-то чётном броске выпадет орёл, то дальше монету не бросаем: я выиграл. Если же при каком-то нечётном броске выпадет решка, то выиграл ты.
а) Какова вероятность выигрыша Гриши?
б) Найдите математическое ожидание числа бросков монеты до окончания жребия.

Есть 4 монеты разного веса. За одно действие можно взвесить две монеты на чашечных весах без гирь и узнать, какая из них тяжелее. Требуется упорядочить монеты по весу. Покажите, что существует способ упорядочить монеты, при котором математическое ожидание числа взвешиваний меньше, чем 4,8.

На хлебозаводе дозирующий автомат отмеряет порции теста массой 400 г. Принято правило: если стандартное отклонение десяти случайных измерений превосходит 5 % номинальной массы порции, то автомат требует ремонта.
Для проверки автомата юный стажёр Иванов взвесил 10 случайных порций, отмеренных автоматом, с точностью до грамма и записал в таблицу, на сколько граммов порции отличаются в ту или иную сторону от номинальной массы 400 г.

Номер порции	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Отличие от 400 г	12	32	18	19	28	15	7	22	12	21

Молодой инженер Петров рассердился и сказал, что вся работа насмарку, поскольку знаки отклонений неизвестны, и он не может вычислить ни стандартное отклонение, ни даже среднее арифметическое.
Опытный мастер Сидоров лишь покачал головой и заявил, что всё не так плохо. Конечно, найти стандартное отклонение невозможно, но можно математически доказать, что автомат ремонта не требует. Как мог рассуждать мастер Сидоров?

Банкомёт по одной сдаёт игроку карты из хорошо перетасованной обычной карточной колоды. В любой момент, пока у банкомёта еще остались карты, игрок может сказать «Стоп». После этого банкомёт открывает ещё одну карту. Если она красной масти, то игрок выигрывает, если чёрной, то проигрывает.
Существует ли у игрока стратегия, при которой вероятность выигрыша больше, чем 0,5?
Примечание. В некоторых карточных играх тот, кто сдает игрокам карты, называется банкомётом.

В новом только что заселённом многоквартирном доме рабочие повесили блок из 80 почтовых ящиков. Внутрь каждого ящика они положили кольцо с ключом и биркой с номером квартиры, но не позаботились о том, чтобы в каждом ящике лежал ключ от этого ящика. Они просто покидали ключи в ящики в случайном порядке. Ящики, разумеется, заперты.
Рассеянный Учёный, недавно поселившийся в квартире 37, обрадовался, увидев ящики, но консьержка сказала, что достать ключи она не может. Нужно идти в управляющую компанию, которая осуществляет приём граждан каждый третий понедельник месяца с 12.00 до 12.30.
Найдя в мусорной урне палочку (кто-то заказывал суши), Учёный с четвёртой попытки сумел извлечь ключ из ящика № 37. Он рассуждал следующим образом: если это ключ от моего ящика, то всё хорошо. Если нет, то я открою ящик, от которого этот ключ, ключ оставлю в замке, выну из ящика следующий ключ, открою им следующий ящик и так далее, пока не достану свой ключ.
а) Докажите, что описанный алгоритм результативен, то есть что Рассеянный Учёный найдёт свой ключ.
б) Найдите математическое ожидание числа жильцов, которым придётся ковырять в ящиках палочкой, если все они будут следовать алгоритму Рассеянного Учёного.

В лотерее «Счастливая сумма» всего $N$ шаров с номерами от 1 до $N$. Во время основного тиража случайным образом выпадают 10 шаров. Во время дополнительного тиража из этого же набора шаров случайно выбирают 8 шаров. Сумма номеров на выпавших шарах в каждом тираже объявляется счастливой суммой, и те игроки, кто эту сумму предсказал, получают выигрыш.
Может ли быть, что события $A$ «в основном тираже счастливая сумма равна 63» и $B$ «в дополнительном тираже счастливая сумма равна 44» равновероятны? Если да, то при каком условии?

В абсолютно случайную точку абсолютно квадратного леса $10\times 10$ км на парашюте спускается шпион с радиопередатчиком. Приземлившись, он немедленно начинает радиопередачу, сообщая противнику важные сведения.
Во всех четырёх углах леса расположены радиопеленгаторы, каждый из которых обнаруживает работу передатчика на расстоянии не более 10 км. Чтобы контрразведка точно определила координаты работающего передатчика, нужно, чтобы передатчик был обнаружен хотя бы двумя пеленгаторами.
Шпиону повезло: один из радиопеленгаторов сегодня не работает. Какова вероятность того, что контрразведчики не смогут определить координаты места, где приземлился шпион?

Проезд в маршрутке стоит 75 рублей. Пятнадцать пассажиров заходят поодиночке и между собой деньгами не меняются. С вероятностью $0{,}5$ пассажир даёт водителю купюру 100 рублей и получает 25 рублей сдачи монетами по 5 или 10 рублей, а с вероятностью $0{,}5$ пассажир даёт водителю 50 рублей одной купюрой и 25 рублей монетами.
а) Перед рейсом у водителя монет не было вообще. Какова вероятность того, что водитель сможет немедленно дать сдачу каждому, кто расплачивается купюрой 100 рублей?
б) Какую сумму монетами должен иметь водитель перед выездом, чтобы с вероятностью не менее $0{,}95$ иметь возможность немедленно дать сдачу всем пассажирам, расплатившимся сторублёвкой?