Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 383
На сторонах $AD$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ с центром $O$ отмечены такие точки $P$ и $Q$ соответственно, что $\angle AOP=\angle COQ=\angle ABC$.
а) Докажите, что $\angle ABP=\angle CBQ$.
б) Докажите, что прямые $AQ$ и $CP$ пересекаются на описанной окружности треугольника $ABC$.
а) Докажите, что $\angle ABP=\angle CBQ$.
б) Докажите, что прямые $AQ$ и $CP$ пересекаются на описанной окружности треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=a$ и $BC=b$. Точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $CD$ соответственно, причём отрезок $MN$ параллелен основаниям трапеции. Диагональ $AC$ пересекает этот отрезок в точке $O$. Найдите $MN$, если известно, что площади треугольников $AMO$ и $CNO$ равны.
Ответ:
Решение:
Дана равнобокая трапеция, сумма боковых сторон которой равна большему основанию. Докажите, что острый угол между диагоналями не больше чем $60^\circ$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $K$. Точки $P$ и $Q$ — центры описанных окружностей треугольников $ABD$ и $BCD$. Докажите, что $\angle PKA=\angle QKD$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на продолжении медианы $CM$ за точку $C$ отметили точку $K$ так, что $AM=CK$. Известно, что угол $BMC$ равен $60^\circ$. Докажите, что $AC=BK$.
Ответ:
Решение:
Внутри выпуклого четырёхугольника $ABCD$ взята такая точка $P$, что $\angle PBA=\angle PCD=90^\circ$. Точка $M$ — середина стороны $AD$, причём $BM=CM$. Докажите, что $\angle PAB=\angle PDC$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Описанная окружность треугольника $AOC$ вторично пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$. Оказалось, что прямая $EF$ делит площадь треугольника $ABC$ пополам. Найдите угол $B$.
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ взята такая точка $O$, что $\angle ABO=\angle CAO$, $\angle BAO=\angle BCO$, $\angle BOC=90^\circ$. Найдите отношение $AC:OC$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Действительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ таковы, что \[\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{c}{d}+\frac{d}{c}.\] Докажите, что произведение каких-то двух чисел из $a$, $b$, $c$, $d$ равно произведению двух других.
Ответ:
Решение:
Съев на пустой желудок трёх поросят и семерых козлят, Серый Волк всё ещё страдал от голода. Зато в другой раз он съел на пустой желудок 7 поросят и козлёнка и страдал уже от обжорства. От чего пострадает Волк, если съест на пустой желудок 11 козлят?
Ответ:
Решение:
Алиса записала положительные числа $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ (не обязательно целые), а Маруся — числа $\dfrac{1}{a}$, $\dfrac{1}{b}$, $\dfrac{1}{c}$, $\dfrac{1}{d}$, $\dfrac{1}{e}$. Оказалось, что сумма чисел Алисы больше суммы чисел Маруси. Могло ли произведение чисел Алисы оказаться меньше произведения чисел Маруси?
Ответ:
Решение:
У каждого жителя города Тьмутаракань есть свои тараканы, не у всех поровну. Два таракана являются товарищами, если у них общий хозяин (в частности, каждый таракан сам себе товарищ). Что больше: среднее количество тараканов, которыми владеет житель города, или среднее количество товарищей у таракана?
Ответ:
Решение:
Сумма трёх положительных чисел равна их произведению. Докажите, что хотя бы два из них больше единицы.
Ответ:
Решение:
Некоторые неотрицательные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют равенству $a+b+c=2\sqrt{abc}$. Докажите, что $bc\geqslant b+c$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что если числа $x$, $y$, $z$ при некоторых значениях $p$ и $q$ являются решениями системы \[\begin{cases} y=x^n+px+q,\\ z=y^n+py+q,\\ x=z^n+pz+q,\end{cases}\] то выполнено неравенство $x^2y+y^2z+z^2x\geqslant x^2z+y^2x+z^2y$, где а) $n=2$; б) $n=2010$.
Ответ:
Решение:
Про положительные числа $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ известно, что \[a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de.\] Докажите, что среди этих чисел найдутся такие три, что не существует треугольника с такими длинами сторон.
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любых различных натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо неравенство \[ \left|\sqrt[n]{m}-\sqrt[m]{n}\right|\gt \dfrac{1}{mn}. \]
Ответ:
Решение:
Последовательность из двух различных чисел продолжили двумя способами: так, чтобы получилась геометрическая прогрессия, и так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. При этом третий член геометрической прогрессии совпал с десятым членом арифметической прогрессии. А с каким членом арифметической прогрессии совпал четвёртый член геометрической прогрессии?
Ответ:
Решение: