Поиск задач

Графом называют конечное множество точек вместе с линиями, соединяющими некоторые из этих точек. Точки называют вершинами графа, а соединяющие их линии — рёбрами (некоторые рёбра могут быть замкнутыми линиями, соединяющими вершину с собой).
На координатной плоскости задан отрезок \[ x=0,\quad |y|\leqslant5 \] и окружности \[ (x-3)^2+y^2=25,\quad (x+3)^2+y^2=25,\quad (x-7)^2+y^2=1,\quad (x-6)^2+y^2=4. \] Вершинами графа являются концы отрезка, а также точки пересечения и касания этих окружностей. Рёбрами этого графа являются части указанных выше линий, соединяющих его вершины.
Сколькими способами можно начертить все ребра этого графа одним росчерком, не отрывая карандаш от бумаги и не проводя более одного раза по одному и тому же ребру?

$A$ — множество чисел, делящихся на 3; $B$ — множество чисел, дающих при делении на 4 остаток 1. $C$ — множество простых чисел. На отрезке $[100;200]$ найдите количество чисел, принадлежащих множеству.

Игра в кости. При броске шести попарно различных разноцветных кубиков выпадает сумма в 28 очков. Сколько возможно различных вариантов с такой суммой?

Игра в кости. При броске пяти попарно различных разноцветных кубиков выпадает сумма в 21 очко. Сколько возможно различных вариантов с такой суммой?

Шестьдесят четыре одинаковых кубических контейнера с жидким азотом, $n$ из которых оказались изначально замороженными (азот в них перешёл в твёрдое состояние), плотно сомкнуты и сложены в большой куб размера $4\times4\times4$. В силу контакта по общим граням с замороженными контейнерами процесс замерзания поэтапно распространяется на соседние емкости. На каждом этапе заморозка охватывает только те контейнеры, которые в данный момент имеют общие грани не менее чем с $m$ уже полностью замёрзшими соседями.

1. Докажите, что при $n=8$ и $m=3$ при любом начальном расположении замороженных контейнеров полное замерзание всех контейнеров никогда не произойдет.
2. При $n=6$ и $m=2$ укажите какое-либо расположение изначально замороженных контейнеров в большом кубе, при котором все контейнеры замёрзнут не более чем через 8 этапов распространения процесса заморозки. Ответ обоснуйте.

В городе Математинске проживают только рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят только правду, а лжецы всегда лгут. Город разделён на четыре округа: Северный, Западный, Южный и Восточный. На вопрос: «Вы живёте в Северном округе?» ответили «да» 610 человек, на вопрос: «Вы живёте в Западном округе?» сказали «да» 680 человек, на вопрос: «Вы живёте в Южном округе?» ответили «да» 690 человек, а на вопрос: «Вы живёте в Восточном округе?» сказали «да» 600 человек. На следующий день в Южном и Восточном округах проходил карнавал: лжецы переоделись в рыцарей и стали говорить правду, а рыцари переоделись в лжецов и стали лгать (в Северном и Западном округах в этот день карнавал не проводился). В результате на вопрос «Вы живёте в Северном округе?» в этот день ответили «да» 620 человек.
1. Сколько лжецов проживает в Математинске?
2. Сколько всего жителей в Математинске?

Сказочное государство расположено на трёх островах: A, B и C. Всего в государстве проживает 100 человек, причём каждый из них живёт на одном из этих островов. Все жители государства — либо рыцари, которые всегда говорят только правду, либо лжецы, которые всегда лгут. На вопрос «Вы проживаете на острове A?» ответили «да» 55 жителей государства; на вопрос «Вы проживаете на острове B?» ответили «да» 38 жителей государства; а на вопрос «Вы проживаете на острове C?» ответили «да» 49 жителей государства. На следующий день на острове A прошёл «очищающий» дождь, после чего все лжецы острова A стали говорить правду (рыцари остались рыцарями, на других островах очищающий дождь не проходил). После этого всем жителям государства был задан вопрос «Вы проживаете на острове B?», на который «да» ответили 27 жителей государства. Если бы «очищающий дождь» прошёл не на острове A, а на острове C, то на вопрос «Вы проживаете на острове B?» ответили бы «да» 29 человек. Сколько лжецов проживают на острове B?

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 2y^2-3x=4x^3y,\\ y^2+4x^2y^3=4x. \end{cases} \]

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 4\cos^2 2x\cdot\sin^2\dfrac x3+4\sin\dfrac x3-4\sin^2 2x\cdot\sin\dfrac x3+1=0,\\ \sin\dfrac x2+\sqrt{\cos y}=0. \end{cases} \]

Решите уравнение \[ \dfrac{2\operatorname{tg}^4 6x+4\sin4x\sin8x-\cos8x-\cos16x+2}{\sqrt{\cos x-\sqrt3\sin x}}=0. \]

Решите уравнение \[ \sin^4(2025x)+\cos^{2019}(2016x)\cdot\cos^{2018}(2025x)=1. \]

Числовая последовательность $a_0,\ a_1,\ a_2,\ \ldots$ такова, что при всех целых неотрицательных числах $m$ и $n$ ($m\geqslant n$) выполняется соотношение $a_{m+n}+a_{m-n}=\frac12\left(a_{2m}+a_{2n}\right)$. Найдите $a_{2021}$, если $a_1=1$.

Функция $f(x)$ при всех действительных $x\ne1$ удовлетворяет соотношению \[ (x-1)f\left(\frac{x+1}{x-1}\right)+4f(x)+14x=0. \] Решите уравнение $4\cdot8^x=7+2^{f(x)}$.

Катя хочет купить корм для кошек. В прошлый раз вся покупка обошлась ей в 48 рублей. В магазине выяснилось, что стоимость одной упаковки выросла на столько рублей, на сколько число 5,5 больше числа купленных упаковок товара. Известно, что за всю покупку Катя заплатила наибольшую из возможных сумму денег. Определите эту сумму. Сколько упаковок корма было куплено? Определите стоимость одной упаковки.

ООО «Ромашка» выделил 100 тыс. рублей на обновление формы для вахтёров, причём они рассчитывали потратить не более 13,7 тыс. рублей за один комплект. Когда они обратились к производителю, то оказалось, что стоимость одного комплекта меньше предполагаемой на столько рублей, сколько комплектов одежды нужно приобрести, при этом, при покупке нужного количества комплектов формы предприятие получает наименьший остаток от общей суммы выделенных денег. Определите количество комплектов при таких условиях. Какова цена одного комплекта?

Павел поймал 32 рака и решил их продать на рынке. Когда у него купили часть улова, то оказалось, что покупатель заплатил за каждого на 4,5 рубля меньше, чем то количество раков, которое осталось лежать на прилавке. При этом мальчик заработал наибольшую сумму денег из всех возможных. Сколько денег заработал Павел? Сколько раков он продал?

Мимо бассейна объёмом 400 м$^3$ литров воды шли 37 слонов. Часть из них решило освежиться. После их водных процедур выяснилось, что в среднем каждый слон использовал столько кубометров воды, сколько слонов не участвовали в купании. Известно, что в бассейне остался наименьший из возможных объём воды. Определите, какой объём воды остался в бассейне, сколько воды было израсходовано. Какое наибольшее количество слонов при таких условиях могло участвовать в купании?

Во всем мире популярна игра в хоккей. Многое в игре зависит от вратаря. Для отработки навыков вратарей и обеспечения тренировочного процесса, который бы не зависел от других игроков, создали шайбомет. Автомат можно настроить так, чтобы он выбрасывал шайбы с заданной временной частотой, скоростью и под определенным углом.
Пусть линия ворот находится на расстоянии 25 м от центральной точки $O$ хоккейной площадки. Автомат установлен на расстоянии $d=16$ м от точки $O$ по направлению к воротам, скорость выброса шайбы равна $V_0=20$ м/с. Броски производятся в плоскости, перпендикулярной поверхности льда и линии ворот. При этом для обеспечения безопасности траектория вылетающих шайб должна, с одной стороны, находиться не выше прямой линии, соединяющей центр ледовой площадки $O$ с точкой, находящейся в плоскости полета шайб, в плоскости ворот, и на расстоянии одного метра от поверхности льда, а с другой стороны — должна пересекать плоскость ворот по нисходящей ветви траектории.
Определите максимально возможное значение тангенса угла, под которым могут вылетать шайбы из шайбомета, если траектория движения шайбы, рассматриваемой как материальная точка, в плоскости ее полета в системе координат с центром в $O$ и осью абсцисс, направленной вдоль поверхности льда, описывается уравнениями: \[ \begin{cases} x=d+V_0t\cos\alpha,\\ y=V_0t\sin\alpha-\dfrac{gt^2}{2}. \end{cases} \] Для упрощения вычислений считать, что ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$.

Во всем мире популярна игра в хоккей. Многое в игре зависит от вратаря. Для отработки навыков вратарей и обеспечения тренировочного процесса, который бы не зависел от других игроков, создали шайбомет. Автомат можно настроить так, чтобы он выбрасывал шайбы с заданной временной частотой, скоростью и под определенным углом.
Пусть автомат установлен на льду на расстоянии $l=12$ м от ворот. Броски производятся в плоскости, перпендикулярной поверхности льда и линии ворот, с некоторой фиксированной начальной скоростью выброса шайбы $V_0$ и под различными углами $\alpha$ к поверхности льда. Примем точку выброса за начало отсчета системы координат. Ось абсцисс направим перпендикулярно центральной линии хоккейной площадки в сторону ворот. Ось ординат — вверх, перпендикулярно поверхности льда. В распоряжении вратаря имеется ловушка для шайб, изображенная на рисунке точкой $M$. Траектория движения шайбы, находящейся в воздухе и рассматриваемой как материальная точка, в зависимости от времени $t$ в указанной системе координат описывается уравнениями: \[ \begin{cases} x=V_0t\cos\alpha,\\ y=V_0t\sin\alpha-\dfrac{gt^2}{2}. \end{cases} \] Определите диапазон возможных значений квадрата начальной скорости выброса шайбы, при каждом из которых шайба попадает в ловушку и максимально возможная высота ловушки в моменты захвата шайбы не превосходит 1 м. Для упрощения вычислений считать, что ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$.

Число $p$ таково, что неравенство $\dfrac{4a}{3b+4c}+\dfrac{6b}{4c+2a}+\dfrac{8c}{2a+3b}\geqslant p$ выполняется для всех положительных чисел $a$, $b$, $c$. Найдите наибольшее значение $p$.