Поиск задач

Простоквашинская телефонная компания «Просто-Телеком» использует трёхзначные телефонные номера. Оборудование старое, поэтому при соединении возможны ошибки в отдельных цифрах передаваемого номера абонента — каждая цифра независимо от других с вероятностью $p=0{,}02$ может быть заменена какой-то другой случайной цифрой. Для уменьшения вероятности неверного соединения компания использует следующее правило: первая цифра номера всегда равна остатку от деления на 10 суммы двух остальных цифр. Например, возможны номера 000 и 156, а номер 234 невозможен. Если при соединении контрольная цифра неверная, выдаётся сообщение об ошибке. Найдите вероятность того, что, несмотря на принятые меры, ошибочное соединение состоится.

Ровно половина населения острова Невезения — зайцы, а все остальные — кролики. Если житель острова Невезения что-нибудь утверждает, он всегда искренне верит в то, что говорит. При этом зайцы добросовестно заблуждаются в среднем в каждом четвертом случае, а кролики добросовестно заблуждаются в среднем в каждом третьем случае. Однажды в центр острова вышел зверь и закричал: «Я не заяц!». Подумал и грустно сказал: «Я не кролик». Какова вероятность того, что он все же заяц?

Дни в Анчурии бывают ясные и дождливые, причём вероятность ясного дня равна 0,74 независимо от времени года. В парламенте Анчурии есть комитет по климату и прогнозам, где работают два сенатора и один приглашённый синоптик. Известно, что доля верных прогнозов ясных дней у каждого из трёх такая же, как и доля верных прогнозов дождливых. Но у синоптика эта доля на 50 % выше, чем у каждого из сенаторов.
Однажды все трое независимо друг от друга сделали прогноз на приближающийся День Великого Народного Ликования. Оба сенатора заявили, что этот день будет ясный, а синоптик предсказал дождь. На какой прогноз лучше полагаться?

Каждую пятницу десять джентльменов приходят в клуб, и каждый отдает швейцару свою шляпу. Каждая шляпа точно впору своему хозяину, но двух одинаковых по размеру шляп нет. Уходят джентльмены по одному в случайном порядке.
Провожая очередного джентльмена, швейцар клуба пробует надеть ему на голову первую попавшуюся шляпу. Если налезает, джентльмен уходит в этой шляпе. Если мала, то швейцар пробует следующую случайную шляпу из оставшихся. Если все оставшиеся шляпы оказались малы, швейцар говорит бедняге: «Сэр, сегодня шляпа вам не к лицу», и джентльмен отправляется домой с непокрытой головой. Найдите вероятность того, что в следующую пятницу у швейцара не останется ни одной шляпы.

Кролики бывают гладкошёрстные и мохнатые. Тип шерсти определяется генами, унаследованными от родителей. Каждый кролик имеет два аллеля одного и того же гена, отвечающего за тип шерсти. Аллель мохнатости обозначим $H$ (или $h$), а аллель гладкошёрстности обозначим $S$ (или $s$). Если у кролика разные аллели, то всё зависит от того, какой аллель доминантный (подавляющий), а какой — рецессивный (подавляемый). Большие буквы используем для доминантных аллелей, а малые — для рецессивных. Таким образом, если генотип (комбинация аллелей) $Hs$, то кролик будет мохнатым, несмотря на наличие аллеля гладкошёрстности. Если генотип $hS$, то кролик гладкошёрстный. Каждый из родителей передает детёнышу один из своих аллелей. Например, если отец имел генотип $hh$, а мать — генотип $hS$, то детёныш может получить от отца только аллель $h$, а от матери с равными шансами любой из аллелей $h$ и $S$. Поэтому с вероятностью 0,5 у детёныша будет генотип $hh$ и с такой же вероятностью 0,5 будет генотип $hS$ (мы считаем, что доминантность или рецессивность аллелей не связаны с полом кролика).
Известно, что в некоторой популяции кроликов аллель мохнатости встречается с вероятностью $p=0{,}1$. Однажды в этой популяции при скрещивании мохнатого кролика с гладкошерстной крольчихой все четыре крольчонка оказались мохнатыми. Какой генотип наиболее вероятен у родителей этих крольчат?

От станции Узловая до посёлка Дальний по расписанию ходит автобус. На конечной остановке в Дальнем автобус разворачивается и немедленно отправляется в обратный путь, который занимает столько же времени, сколько дорога от станции до посёлка.
На маршруте работает наименьшее число водителей, при котором можно обеспечить режим труда и отдыха: если рейс туда-обратно занимает больше четырёх часов, то между рейсами водитель должен отдохнуть не менее часа.
Расписание движения автобуса по маршруту ст. Узловая — п. Дальний

Отправление	Прибытие
7:20	10:00
10:40	13:20
12:00	14:40
13:05	15:45
16:10	18:50
17:30	20:10

Иван Петрович поехал со ст. Узловая в Дальний и вернулся в тот же день последним рейсом автобуса. Он заметил, что на обратном пути автобус вёл тот же водитель, что и на пути в посёлок. Сколько водителей работает на маршруте и сколько было времени, когда Иван Петрович уезжал со станции в посёлок?

От станции Узловая до посёлка Дальний по расписанию ходит автобус. На конечной остановке в Дальнем автобус разворачивается и немедленно отправляется в обратный путь, который занимает столько же времени, сколько дорога от станции до посёлка.
На маршруте работает наименьшее число водителей, при котором можно обеспечить режим труда и отдыха: если рейс туда-обратно занимает больше четырёх часов, то между рейсами водитель должен отдохнуть не менее часа.
Расписание движения автобуса по маршруту ст. Узловая — п. Дальний

Отправление	Прибытие
7:20	10:00
10:40	13:20
12:00	14:40
13:05	15:45
16:10	18:50
17:30	20:10

Алексей Иванович поехал со ст. Узловая в Дальний первым рейсом автобуса и вернулся в тот же день. Он обратил внимание, что на обратном пути автобус вёл тот же водитель, что и утром. Сколько водителей работает на маршруте и сколько было времени, когда Алексей Иванович вернулся на станцию?

В колоде 36 игральных карт четырех мастей от шестерки до туза. Володя и Маша тянут по одной карте. Сначала тянет карту Володя, а затем Маша. Маша выиграет, если она вытащит карту старше, чем карта Володи. Иначе выигрывает Володя.
а) Докажите, что жребий несправедливый.
б) Как сделать его справедливым?

Лотерея выгодна устроителю лотереи, если математическое ожидание выигрыша меньше, чем цена билета. Участник лотереи считает, что лотерея ему выгодна, если, купив один билет, он с вероятностью больше, чем 0,5 выиграет сумму, которая больше цены билета.
Лотерейный билет стоит 10 рублей. С вероятностью $p$ билет содержит выигрыш 19 рублей, с вероятностью $1-p$ билет не содержит выигрыша. Можно ли подобрать $p$ так, чтобы лотерея была выгодна и устроителю, и участнику лотереи? Если нельзя, объясните почему. Если можно, найдите все такие значения $p$.

Лотерея выгодна устроителю лотереи, если математическое ожидание выигрыша меньше, чем цена билета. Участник лотереи считает, что лотерея ему выгодна, если, купив один билет, он с вероятностью больше, чем 0,5 выиграет сумму, которая больше цены билета.
Лотерейный билет стоит 10 рублей. С вероятностью $p$ билет содержит выигрыш 18 рублей, с вероятностью $1-p$ билет не содержит выигрыша. Можно ли подобрать $p$ так, чтобы лотерея была выгодна и устроителю, и участнику лотереи? Если нельзя, объясните, почему. Если можно, найдите все такие значения $p$.

У Аси и Васи есть 3 монеты. На разных сторонах одной монеты изображены ножницы и бумага, на сторонах другой монеты — камень и ножницы, на сторонах третьей — бумага и камень. Ножницы побеждают бумагу, бумага побеждает камень и камень побеждает ножницы. Сначала Ася выбирает себе монетку, потом Вася, потом они бросают свои монетки и смотрят, кто выиграл (если выпало одно и то же, то — ничья). Так они делают много раз. Есть ли возможность у Васи выбирать монету так, чтобы вероятность его выигрыша была выше, чем у Аси?

Федя предложил Васе сыграть в игру: нужно бросить две игральные кости и перемножить выпавшие числа.
— Самое большое произведение 36, а самое маленькое 1, — заявил Федя. — Давай так: если произведение получилось от 1 до 18, то я выиграл, а если от 19 до 36, то выиграл ты.
а) Соглашаться ли Васе на такие условия игры?
б) Как изменить границу, чтобы игра стала справедливой?

А. и Б. играют в орлянку, делая по два броска за один кон: сначала А., за ним Б., затем следуют ещё два броска и так далее. Если при броске выпадает орёл, то бросавший забирает у второго игрока один пряник. Б. заметил, что монета несимметричная — вероятность выпадения орла чуть выше, чем 0,5. Тогда Б. предложил изменить правила. Новые правила звучат так:

• А. забирает пряник у Б., если при броске А. выпадает орёл;
• Б. забирает пряник у А., если при броске Б. выпадет та же сторона монеты, какая перед этим выпала у А.

Получит ли кто-нибудь преимущество от такого изменения правил?

А. и Б. играют в орлянку, делая по два броска за один кон: сначала А., за ним Б., затем следуют ещё два броска и так далее. Если при броске выпадает орёл, то бросавший забирает у второго игрока один пряник. Б. заметил, что монета несимметричная — вероятность выпадения орла чуть ниже, чем 0,5. Тогда Б. предложил изменить правила. Новые правила звучат так:

• А. забирает пряник у Б., если при броске А. выпадает орёл;
• Б. забирает пряник у А., если при броске Б. выпадет та же сторона монеты, какая перед этим выпала у А.

Получит ли кто-нибудь преимущество от такого изменения правил?

Тридцать шесть игроков играют в игру: из колоды, в которой 36 игральных карт, игроки по очереди выбирают по случайной карте. Если игроку попался туз бубен, то игрок выиграл; если же попалась другая карта, игрок возвращает её в колоду, и случайную карту тянет следующий игрок. Так они тянут карты по кругу: сначала первый, затем второй и т.д. Если на первом круге никому не попался туз бубен, игроки в том же порядке тянут карты по второму кругу. Это продолжается до тех пор, пока кто-то из них не вытянет туза бубен.
а) Честная ли это игра, то есть равны ли у игроков вероятности выигрыша?
б) Найдите хотя бы приближённо вероятность выигрыша первого игрока.

У Вали в шкатулке три синие бусины и одна красная. Они с Колей бросают жребий: каждый по очереди не глядя вынимает бусину. Выигрывает тот, кому досталась красная. Начинает Валя, так как это ее бусины, но зато Коля может выбрать одно из дополнительных правил.
Правило 1. Вынутые бусины остаются у игроков.
Правило 2. Каждая вынутая бусина тут же возвращается в шкатулку.
Какое правило должен выбрать Коля, чтобы повысить вероятность своего выигрыша?

У Вали в шкатулке четыре синие бусины и одна красная. Они с Колей бросают жребий: каждый по очереди не глядя вынимает бусину. Выигрывает тот, кому досталась красная. Начинает Валя, так как это ее бусины, но зато Коля может выбрать одно из дополнительных правил.
Правило 1. Вынутые бусины остаются у игроков.
Правило 2. Каждая вынутая бусина тут же возвращается в шкатулку.
Какое правило должен выбрать Коля, чтобы повысить вероятность своего выигрыша?

Петя играет в компьютерную игру «Куча камней». Сначала в куче 16 камней. Игроки по очереди берут из кучи 1, 2, 3 или 4 камня. Выигрывает тот, кто заберет последний камень. Петя играет впервые и поэтому каждый раз берет случайное число камней, при этом он не нарушает правила игры. Компьютер играет по следующему алгоритму: на каждом ходу он берет столько камней, чтобы оказаться в наиболее выгодном положении. Игру начинает всегда Петя. С какой вероятностью Петя выиграет?

Тридцать шесть игроков играют в игру: из карточной колоды, в которой 36 карт, они по очереди выбирают по случайной карте. Если игроку попался туз бубен, то игрок выиграл; если же попалась другая карта, игрок возвращает её в колоду, и карту тянет следующий игрок. Так они тянут карты по кругу: сначала первый, затем второй и т. д. Если на первом круге никому не попался туз бубен, игроки в том же порядке тянут карты по второму кругу. Это продолжается до тех пор, пока кто-то из них не вытянет туза бубен.
Предположим, что перед началом игры игроки сделали ставки, и выигравший забирает их все. Как должны относиться ставки игроков, чтобы игра стала безобидной, то есть математические ожидания выигрыша у всех игроков оказались равны между собой (то есть равны нулю с учётом внесенной суммы)?

Валя и Коля пошли в тир. Коля предложил:
— Валь, давай стрелять по очереди. Кто первый попадет в мишень, тот и победил.
— Это нечестно! Ты стреляешь лучше. Помнишь, Рассеянный Ученый совершенно точно подсчитал, что на одно попадание ты расходуешь в среднем на один выстрел меньше, чем я.
— Хорошо, — согласился Коля. — Стреляй первой. Тогда у нас будут равные шансы на победу.
Валя немного подумала и сказала:
— Все равно нечестно. Давай лучше возьмем два ружья и будем стрелять одновременно, но по двум разным мишеням. Тогда может случиться ничья, а значит, вероятность того, что я хотя бы не проиграю, больше, чем при стрельбе по очереди.
а) Прав ли Коля, утверждая, что если они будут стрелять по очереди, но Валя будет стрелять первой, то шансы у них равны?
б) Права ли Валя, утверждая, что если стрелять по двум мишеням одновременно, то вероятность не проиграть у нее больше, чем вероятность победить при стрельбе по очереди?