Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
На клетчатой доске размера $22\times 25$ (длина стороны клетки равна $1$) требуется отметить тройку клеток так, чтобы центры этих клеток образовывали прямоугольный треугольник с катетами длины $7$ и $4$ (катеты параллельны краям доски). Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
На плоскости нарисован круг и три семейства прямых: в одном $18$ параллельных между собой прямых, в другом $27$ параллельных между собой прямых, в третьем — $32$ параллельных между собой прямых. На какое наибольшее число частей прямые могут разбить круг?
Ответ:
Решение:
Отметили все вершины правильного девятиугольника. Сколько существует незамкнутых несамопересекающихся семизвенных ломаных с вершинами в отмеченных точках?
Ответ:
Решение:
Отметили все вершины правильного $12$-угольника. Сколько существует незамкнутых несамопересекающихся семизвенных ломаных с вершинами в отмеченных точках?
Ответ:
Решение:
Дан правильный $20$-угольник. Найдите количество четвёрок вершин этого $20$-угольника, являющихся вершинами трапеций.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматриваются квадраты, все вершины которых имеют целые неотрицательные координаты, а центр находится в точке $(50,30)$. Найдите количество таких квадратов.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматриваются квадраты, все вершины которых имеют целые неотрицательные координаты, а центр находится в точке $(60,45)$. Найдите количество таких квадратов.
Ответ:
Решение:
На каждой из прямых $x=0$ и $x=2$ отмечено по 62 точки с ординатами $1, 2, 3, \ldots, 62$. Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных 124 так, чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?
Ответ:
Решение:
На каждой из прямых $y=1$ и $y=12$ отмечено по $200$ точек с абсциссами $1, 2, 3, \ldots, 200$. Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных $400$ так, чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?
Ответ:
Решение:
На каждой из прямых $y=3$ и $y=4$ отмечено по 73 точки с абсциссами $1, 2, 3, \ldots, 73$. Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных 146 так, чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?
Ответ:
Решение:
Даны 12 точек: 7 из них лежат на одной окружности в плоскости $\alpha$, а остальные 5 расположены вне плоскости $\alpha$. Известно, что если четыре точки из всех 12 лежат в одной плоскости, то эта плоскость — $\alpha$. Сколько существует выпуклых пирамид с вершинами в данных точках? (Пирамиды считаются различными, если их множества вершин различны.)
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$ такой, что $AB=30$, $BC=24$, $AC=18$. На стороне $BC$ отмечено последовательно $23$ точки: $B_1, B_2, \ldots, B_{23}$ так, что эти точки разбивают $BC$ на $24$ единичных отрезка. Аналогично, на стороне $AC$ отмечено последовательно $17$ точек: $A_1, A_2, \ldots, A_{17}$ так, что эти точки разбивают $AC$ на $18$ единичных отрезков. Сколько существует треугольников с площадью $11$ и вершинами, которые выбираются из точек $A, A_1, A_2, \ldots, A_{17}, B, B_1, B_2, \ldots, B_{23}, C$?
Ответ:
Решение:
В вершинах правильного 30-угольника разместили 28 белых и 2 чёрных фишки, причем чёрные фишки лежат в соседних вершинах. Сколькими способами можно выбрать две белых и одну чёрную фишку так, чтобы они лежали в вершинах прямоугольного треугольника?
Ответ:
Решение:
В выпуклом $17$-угольнике проводят все его диагонали. На какое наибольшее число частей они могут его разбить?
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар целых чисел $(x,y)$, удовлетворяющих системе неравенств \[ \begin{cases} y\gt 2^x+3\cdot 2^{65};\\ y\leqslant 70+\left(2^{64}-1\right)x. \end{cases} \] Ответ должен быть представлен в виде алгебраической суммы не более двух слагаемых.
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар целых чисел $(x;y)$, удовлетворяющих системе неравенств \[ \begin{cases} y\geqslant 90+x-6^{90},\\ y\leqslant \log_6 x. \end{cases} \] Ответ должен быть представлен в виде алгебраической суммы не более трёх слагаемых.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости дан параллелограмм с вершинами в точках $O(0;0)$, $P(-12;24)$, $Q(3;24)$ и $R(15;0)$. Найдите количество пар точек $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2;y_2)$ с целыми координатами, лежащих в этом параллелограмме (возможно, на границе) и таких, что $2x_2-2x_1+y_2-y_1=12$.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости дан параллелограмм с вершинами в точках $O(0;0)$, $P(-14;42)$, $Q(6;42)$ и $R(20;0)$. Найдите количество пар точек $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2;y_2)$ с целыми координатами, лежащих в этом параллелограмме (возможно, на границе) и таких, что $3x_2-3x_1+y_2-y_1=33$.
Ответ:
Решение: