Поиск задач

Сколько существует способов расположить в ряд $n$ крестиков и 13 ноликов так, чтобы среди любых трёх подряд идущих значков нашёлся хотя бы один нолик, если
1. $n=27$;
2. $n=26$?

В клетках таблицы $2\times35$ (2 строки, 35 столбцов) расставлены ненулевые действительные числа, причём в верхней строке все числа различны. Для любых двух чисел, стоящих в одном столбце, выполнено следующее условие: одно число является квадратом другого.
1. Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть в этой таблице?
2. Какое наименьшее количество различных чисел может быть в нижней строке?

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ биссектрисы углов $A$ и $C$ параллельны, а биссектрисы углов $B$ и $D$ пересекаются под углом $46^\circ$, как изображено на рисунке. Сколько градусов составляет острый угол между биссектрисами углов $A$ и $B$?

Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle A=42^\circ$ и $AB\lt AC$. Точка $K$ на стороне $AC$ такова, что $AB=CK$. Точки $P$ и $Q$ — середины отрезков $AK$ и $BC$ соответственно. Сколько градусов составляет угол $ACB$, если известно, что $\angle PQC=110^\circ$?

В ящике лежат апельсины, груши и яблоки, всего 60 фруктов. Известно, что яблок в 3 раза больше, чем не яблок, а груш в 5 раз меньше, чем не груш. Сколько апельсинов лежит в ящике?

Олег купил шоколадку за $n$ рублей, а через некоторое время продал её за 96 рублей. Оказалось, что он продал шоколадку ровно на $n\%$ дороже, чем покупал. За сколько рублей Олег купил шоколадку?

У Маши есть три одинаковых игральных кубика, на гранях каждого из них написано шесть различных простых чисел с суммой 87.
Маша дважды кинула все три кубика. В первый раз сумма выпавших чисел равнялась 10, во второй раз сумма выпавших равнялась 62.
Ровно одно из шести чисел ни разу не выпало. Какое?

Натуральное число $n$ таково, что значение выражения $n^2+492$ является точным квадратом.
1. Укажите любое возможное значение $n$.
2. Чему может быть равно $n$? Укажите все возможные варианты.