Поиск задач

У каждой из 100 девочек есть по 100 шариков; среди этих 10000 шариков есть по 100 шариков 100 различных цветов. Две девочки могут обменяться, передав друг другу по шарику. Они хотят добиться того, чтобы у каждой девочки было по 100 разноцветных шариков. Докажите, что они могут добиться этого такой серией обменов, чтобы любой шарик участвовал не более чем в одном обмене.

Дана бесконечная клетчатая плоскость. Учительница и класс из 30 учеников играют в игру, делая ходы по очереди — сначала учительница, затем по очереди все ученики, затем снова учительница, и т. д. За один ход можно покрасить единичный отрезок, являющийся границей между двумя соседними клетками. Дважды красить отрезки нельзя. Учительница побеждает, если после хода одного из 31 игроков найдется клетчатый прямоугольник $1\times2$ или $2\times1$ такой, что у него вся граница покрашена, а единичный отрезок внутри него не покрашен. Смогут ли ученики помешать учительнице победить?

В языке три буквы — Ш, У и Я. Словом называется последовательность из 100 букв, ровно 40 из которых — гласные (то есть У или Я), а остальные 60 — буква Ш. Какое наибольшее количество слов можно выбрать так, чтобы у любых двух выбранных слов хотя бы в одной из ста позиций одновременно стояли гласные, причём различные?

Пусть $P(x)$ — ненулевой многочлен степени $n$ с неотрицательными коэффициентами такой, что функция $y=P(x)$ — нечетная. Может ли оказаться так, что для различных точек $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$ на графике $G$: $y=P(x)$ выполняются условия: касательная к графику $G$ в точке $A_1$ проходит через точку $A_2$, касательная в точке $A_2$ проходит через точку $A_3$, $\ldots$, касательная в точке $A_n$ — через точку $A_1$?

В треугольнике $ABC$ биссектрисы $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $I$. Прямая, проходящая через точку $B$ параллельно $AC$ пересекает лучи $AA_1$ и $CC_1$ в точках $A_2$ и $C_2$ соответственно. Точка $O_a$ — центр описанной окружности треугольника $AC_1C_2$, точка $O_c$ — центр описанной окружности треугольника $CA_1A_2$. Докажите, что $\angle O_aBO_c=\angle AIC$.

В тетраэдре $SABC$ длины всех шести рёбер различны. Точка $A'$ в плоскости $SBC$ симметрична точке $S$ относительно серединного перпендикуляра к отрезку $BC$. Точка $B'$ в плоскости $SAC$ и точка $C'$ в плоскости $SAB$ определяются аналогично. Докажите, что плоскости $AB'C'$, $A'BC'$, $A'B'C$ и $ABC$ имеют общую точку.

Найдите все перестановки $(a_1, a_2, \ldots, a_{2021})$ чисел 1, 2, $\ldots$, 2021 такие, что при любых натуральных $m$, $n$, удовлетворяющих условию $|m-n|\gt 20^{21}$, выполняется неравенство: \[ \sum_{i=1}^{2021}\text{НОД}(m+i, n+a_i)\lt 2|m-n|. \] (Перестановка $(a_1, a_2, \ldots, a_{2021})$ — это последовательность, в которой каждое из чисел 1, 2, $\ldots$, 2021 встречается ровно по одному разу.)

При некоторых натуральных $n\gt m$ число $n$ оказалось представимо в виде суммы 2021 слагаемых, каждое из которых равно некоторой целой неотрицательной степени числа $m$, а также в виде суммы 2021 слагаемых, каждое из которых равно некоторой целой неотрицательной степени числа $m+1$. При каком наибольшем $m$ это могло произойти (хоть при каком-то $n\gt m$)?