Поиск задач

В одной из вершин шестиугольника лежит золотая монета, а в остальных ничего не лежит. Кощей Бессмертный чахнет над златом и каждое утро снимает с одной вершины произвольное количество монет, после чего тут же кладёт на соседнюю вершину в шесть раз больше монет. Если к исходу какого-то дня во всех вершинах будет поровну монет, Кощей станет Властелином Мира. Докажите, что хоть злата у него сколько угодно, но Властелином Мира ему не бывать.

Каждый день, с понедельника по пятницу, ходил старик к синему морю и закидывал в море невод. При этом каждый день в невод попадалось не больше рыбы, чем в предыдущий. Всего за пять дней старик поймал ровно 100 рыбок. Какое наименьшее суммарное количество рыбок он мог поймать за три дня — понедельник, среду и пятницу?

В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно. Известно, что точка пересечения медиан треугольника $AMN$ является точкой пересечения высот треугольника $ABC$. Найдите угол $ABC$.

В пространстве (но не в одной плоскости) расположены шесть различных точек: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ и $F$. Известно, что отрезки $AB$ и $DE$, $BC$ и $EF$, $CD$ и $FA$ попарно параллельны. Докажите, что эти же отрезки попарно равны.

Если разделить 2014 на 105, то в частном получится 19 и в остатке тоже 19. На какие ещё натуральные числа можно разделить 2014, чтобы частное и остаток совпали? (Укажите все возможные варианты и докажите, что других нет.)

Докажите, что если в выражении $(x^2-x+1)^{2014}$ раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то какой-нибудь коэффициент полученного многочлена будет отрицательным.