Поиск задач

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 2x^2=yz+2x,\\ 2y^2=xz+2y,\\ 2z^2=xy+2z. \end{cases} \]

Найдите, при каких значениях параметра $a$ система уравнений \[ \begin{cases} x^2-y+a=0,\\ x+y^2+a=0. \end{cases} \] имеет единственное решение.

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит трапеция $ABCD$, в которой $AB=BC=CD=2$, $AD=4$. Точки $K$, $L$, $M$ лежат на отрезках $A_1B$, $B_1C$, $C_1D$ соответственно так, что \[ \dfrac{A_1K}{KB}=\dfrac{B_1L}{LC}=\dfrac{C_1M}{MD}=7. \] Сфера радиуса $R=2$ касается прямых $A_1B$, $B_1C$, $C_1D$ в точках $K$, $L$, $M$ соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $KLM$, расстояние от центра сферы до плоскости $KLM$ и объём призмы.

Решите неравенство \[ \log_{|x|}\left(\sqrt{x+5}+4\right)\geqslant 2\log_{x^2}(2x+8). \]

В треугольнике $ABC$ точка $D$ лежит на стороне $AC$, а точка $E$ лежит на отрезке $AD$. Известно, что углы $ABE$, $DBE$ и $CBD$ равны, а длина отрезка $DE$ вдвое меньше длины отрезка $CD$ и втрое меньше длины отрезка $AE$. Найдите углы $ABE$ и $ACB$.

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \sqrt{4x^2+\sqrt{9x^2-y^2}}=\dfrac{3}{4}+2x,\\ \sqrt{\dfrac{15}{16}+6x-\dfrac{4}{3}y}=1+\dfrac{4}{3}y. \end{cases} \]

Решите уравнение \[ \dfrac{\cos 3x}{\sin 3x-2\sin x}=\mathrm{tg}^2 x. \]