Поиск задач

Аля и Валя испекли пирог прямоугольной формы со сторонами 20 и 15 см и решили сыграть в такую игру. Каждая из них по очереди делает не более двух параллельных разрезов и съедает один из имеющихся кусков. При этом куски перекладывать нельзя. За один ход обязательно нужно съесть кусок, но не более 1/10 пирога. Запрещено резать пирог так, чтобы получались куски меньше 1/100 пирога. Побеждает тот, кто доел пирог. Кто выигрывает при правильной игре, если начинает Аля? Какая стратегия выигрышная?

В классе, состоящем из 20 учащихся, учитель раздал каждому свой сборник, содержащий ровно 100 задач. Каждый учащийся решил из этого сборника не менее $n$ задач, а Петя — больше, чем Вася. Для какого наименьшего значения $n$ при этом условии обязательно найдётся задача, которую решило не менее половины класса?

Из бумаги вырезали два разных прямоугольника — но у каждого длины сторон выражаются натуральными числами, и у каждого периметр численно равен его площади. Оба прямоугольника положили на стол, один на другой, так, что некоторые стороны одного прямоугольника оказались параллельны некоторым сторонам другого — и какая-то часть столешницы оказалась накрыта всего одним слоем бумаги. Какая наименьшая возможная площадь этой части столешницы?

Биссектрисы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Прямая $AO$ пересекает описанную окружность треугольника $OBC$ в точках $O$ и $M$. Найдите длину секущей $OM$, если $BC=6$, $AB:AC=3:1$, и $\angle BAC=60^\circ$.

Вася нарисовал на доске замкнутую кривую $ABCD$, состоящую из четырёх звеньев: $AB$ — дуга окружности, меньшая полуокружности, $BC$ — отрезок, $CD$ — дуга окружности, большая полуокружности, $DA$ — отрезок, таким образом, что любые два соседних звена перпендикулярны друг другу. Петя нарисовал кривую данного вида так, чтобы длины всех звеньев совпадали. Какие тогда будут углы у дуг $AB$ и $DC$? Примечание: прямая перпендикулярна дуге окружности, если прямая перпендикулярна касательной к окружности.

На каждой стороне белого кубика сидит по жуку. Кубик бросили, и жуки переполошились — каждый выбрал наугад одну из 4-х соседних граней и переполз туда. С какой вероятностью кубик не изменит своего первоначального вида?

Найдите все значения $a$, при каждом из которых оси координат и гипербола $y=\dfrac1x$ высекают на прямой $y=-18x+a$ три отрезка равной длины.

Решите уравнение:\[x^3-\left|x^2-x-2\right|=12x-13.\]