Поиск задач

Каждый киндер-сюрприз содержит ровно 3 различных гномика, а всего есть 12 разновидностей гномиков. В коробке лежит достаточно много киндер-сюрпризов, причем в любых двух из них тройки гномиков не одинаковы. Какое наименьшее количество киндер-сюрпризов нужно купить, чтобы после их вскрытия в них заведомо оказалось хотя бы по одному гномику всех 12 разновидностей?

Решите неравенство $\operatorname{tg}\arccos x\leqslant\sin\operatorname{arctg}x$.

Найдите сумму цифр числа $A$, если $A=2^{63}\cdot4^{25}\cdot5^{106}-2^{22}\cdot4^{44}\cdot5^{105}-1$.

Известно, что $m$, $n$, $k$ — различные натуральные числа, большие 1, число $\log_mn$ рационально, и, кроме того, \[ k^{\sqrt{\log_mn}}=m^{\sqrt{\log_nk}}. \] Найдите минимальное из возможных значений суммы $k+5m+n$.

Найдите все значения $a$, для каждого из которых при любом $x$ наибольшее из двух чисел $x^3+3x+a-9$ и $a+2^{5-x}-3^{x-1}$ положительно.

Точки $A$ и $B$ лежат на окружности с центром $O$ и радиусом 6, а точка $C$ равноудалена от точек $A$, $B$ и $O$. Другая окружность с центром $Q$ и радиусом 8 описана около треугольника $ACO$. Найдите $BQ$.

Куб с ребром $a=\sqrt{2+\sqrt3}$ освещается цилиндрическим лучом света радиуса $\rho=\sqrt2$, направленным вдоль главной диагонали куба. Найдите площадь освещённой части поверхности куба.

Автомобили Нива и Тойота едут по кольцевой трассе испытательного полигона, четверть которой проходит по грунтовой дороге, а оставшаяся часть — по асфальтовой. Скорость Нивы на грунтовой дороге равна 80 км/ч, а на асфальтовой — 90 км/ч. Скорость Тойоты на грунтовой дороге равна 40 км/ч, а на асфальтовой — 120 км/ч. Автомобили одновременно стартуют в начале грунтовой части трассы и сначала едут по этой грунтовой части. На каком по счёту круге один из автомобилей впервые обгонит другой?