Поиск задач

Дан правильный 27-угольник $A_1A_2\ldots A_{27}$. Найдите количество неравнобедренных треугольников с вершинами в точках $A_1$, $A_2$, …, $A_{27}$. Треугольники, отличающиеся порядком вершин (например, $A_1A_2A_4$ и $A_2A_4A_1$), считаются за один треугольник.

Множество $X$ состоит из пяти различных чисел $x_1$, …, $x_5$, а множество $Y$ — из семи различных чисел $y_1$, …, $y_7$. Какое наибольшее количество различных чисел заведомо содержит множество, состоящее из сумм вида $x_i+y_j$, где $i\in\{1,\ldots,5\}$, $j\in\{1,\ldots,7\}$?

На острове рыцарей и лжецов живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды путешественник забрёл на вечеринку, на которой собрались 12 жителей острова (назовём их для краткости $A$, $B$, …, $L$). Путешественник подсел к $A$ и начал задавать вопросы: «$B$ — рыцарь или лжец?»; «$C$ — рыцарь или лжец?»; …; «$L$ — рыцарь или лжец?» По полученным 11-ти ответам путешественник смог определить, сколько всего рыцарей среди $A$, …, $L$. Сделайте это и вы.

Хорда $AC$ образует угол $32^\circ$ с диаметром $AD$. Из центра окружности $O$ опущен перпендикуляр $OH$ на хорду $AC$, его продолжение пересекает окружность в точке $B$. Найдите угол между прямыми $BC$ и $AD$.

Многочлен $a_{2014}x^{2014}+a_{2013}x^{2013}+\ldots+a_1x+a_0$ при всех значениях $x$ совпадает с функцией\[y=\frac{(x-1)(x-2)\ldots(x-2014)}{2014!}.\]Найдите сумму чисел $a_2+a_4+\ldots+a_{2014}$.

Найдите все значения $a$, при которых сумма модулей корней уравнения $x(x+a-1)=a^2$ равна 2.