Поиск задач

На каменистой дороге Рассеянный Ученый проколол колесо автомобиля сразу в трех совершенно случайных и независимых точках. Серьезный ремонт невозможен, но, к счастью, в багажнике нашлась старая довольно рваная колесная камера. Ученый сумел вырезать из нее большой неповрежденный кусок, которым можно накрыть пробитую шину изнутри на $\frac{2}{3}$ ее длины или даже чуть больше.
а) Докажите, что Ученый сможет разместить вырезанный кусок камеры внутри шины так, что все три прокола будут закрыты.
б) Какова вероятность того, что шину можно разрезать на три равные по длине части, на каждой из которых будет ровно один прокол? (Под разрезом здесь понимается разрез полуплоскостью, проходящей через ось колеса, то есть шину следует представлять как окружность, разрезанную на три равные дуги.)

Катя верно решает пример с вероятностью $\frac{4}{5}$, а волшебная ручка верно решает пример без помощи Кати с вероятностью $\frac{1}{2}$. В контрольной работе 20 примеров, и на четверку достаточно правильно решить 13 из них. Сколько Кате нужно решить примеров самостоятельно, а сколько доверить волшебной ручке, чтобы математическое ожидание числа правильных ответов было не меньше 13?

Капризная принцесса выбирает жениха. К ней сватается 100 женихов, один другого лучше, и нет средь них двоих равных друг другу. Но только вот сватаются они в случайном порядке. Назовем жениха видным, если он нравится принцессе больше всех, кто сватался прежде. Первый по счету жених тоже видный, поскольку перед ним никого не было.
Будем говорить, что видный жених и все последующие, которые сватаются после него, но прежде следующего видного (если он есть), образуют вереницу женихов. Найдите математическое ожидание числа женихов в первой веренице.

Муха ползет по решетке $n\times n$ из левого нижнего узла $A$ в верхний правый узел $B$, двигаясь только вправо или вверх (рис. 2). Каково математическое ожидание числа поворотов на траектории мухи, если в каждом узле, где есть ветвление, муха с равными вероятностями выбирает следующий отрезок пути?

Рис. 2

Понятно, что если взять случайное натуральное число из достаточно длинного отрезка натурального ряда, то вероятность того, что это число будет делиться на 10, будет тем ближе к 0,1, чем длиннее отрезок.
Поставим другой вопрос: насколько сильно эта вероятность может отличаться от 0,1? Она может быть равна 0, если, например, мы задали отрезок 1, 2, 3, где ни одно число не делится на 10. А какова:
а) наибольшая возможная вероятность;
б) минимально возможная ненулевая вероятность?

Из цифр от 1 до 9 составлены три однозначных и три двузначных числа, причем цифры не повторяются. Найдите наименьшее возможное среднее арифметическое получившегося набора чисел.

В классе меньше, чем 35 учеников. Средний вес всех учеников равен 53,5 кг. Средний вес девочек 47 кг, а средний вес мальчиков — 60 кг. Может ли оказаться так, что самый легкий ученик в этом классе — мальчик, а самый тяжелый — девочка? Приведите пример, либо объясните, почему это невозможно.

У Вали в шкатулке лежали пять разноцветных ленточек длиной 15, 20, 24, 26 и 30 см. Коля отрезал от некоторых (возможно, от всех) ленточек по кусочку. Средняя длина ленточек уменьшилась на 5 см, а медиана и размах длин не изменились. Чему теперь равны длины ленточек?

Витя коллекционирует игрушечные автомобили серии «Ретро». Проблема в том, что общее число различных моделей в серии неизвестно — это самый большой коммерческий секрет, но зато известно, что разные автомобили выпускаются одинаковым тиражом, и поэтому можно считать, что все модели распределены равномерно и случайно по разным интернет-магазинам.
На разных сайтах Витя нашел несколько предложений, но при ближайшем рассмотрении выяснилось, что среди предлагаемых машинок только 12 различных. Витя уже почти уверен, что всего машинок только 12 и что дальнейший поиск бесполезен. Но кто знает?
Сколько еще предложений от других магазинов должен рассмотреть Витя, чтобы убедиться в том, что моделей в серии всего 12? Витя считает себя убежденным в чем-то, если вероятность этого события выше, чем 0,99.

На новогоднем столе в ряд стоят 4 бокала: первый и третий с апельсиновым соком, а второй и четвертый — пустые. В ожидании гостей Валя рассеянно и случайно переливает сок из одного бокала в другой. За один раз она может взять полный бокал и перелить из него все содержимое в какой-нибудь из двух пустых бокалов.
Найдите математическое ожидание числа переливаний, в результате которых первый раз получится все наоборот: первый и третий будут пусты, а второй и четвертый — полны.

Алеша, Боря и Вася проводят между собой мини-турнир по теннису: каждый играет с каждым один раз. Выигравший получает 1 очко, проигравший 0, ничьих в теннисе не бывает. Абсолютным победителем мини-турнира объявляется тот, у кого в сумме 2 очка. Известно, что Алеша выигрывает у Бори с вероятностью 0,6, а Боря у Васи — с вероятностью 0,4. Какова вероятность события $C$ «абсолютного победителя не будет»?

Однажды прекрасная королева Гвиневра, находясь в родительском замке, попросила короля Артура прислать ей 20 жемчужин. На дорогах неспокойно, и Артур на всякий случай решил послать 40 жемчужин, причем с разными гонцами, велев им скакать по разным дорогам. На пути гонцов могут подстерегать разбойники. Вероятность того, что каждый отдельный гонец будет ограблен, равна $p$, независимо от выбранной дороги и от судьбы других гонцов $(0\lt p\lt 1)$.
Король в раздумьях: послать двух гонцов, дав каждому по 20 жемчужин, послать трех гонцов, дав одному 20, а двум по 10 жемчужин, или послать четырех гонцов, дав каждому по 10 жемчужин? Какой вариант следует выбрать королю, чтобы королева с наибольшей вероятностью получила хотя бы 20 жемчужин?

Женщина, работающая кассиром в железнодорожной кассе, увидела, что перед окошком нет покупателей, вздохнула, повесила объявление «Технический перерыв 15 минут» и ушла ровно на 15 минут. Когда Рассеянный Ученый подошел к кассе, он увидел, что перед ним в очереди уже пять желающих приобрести билет и покорно ждущих, когда окошко откроется. Какова вероятность того, что касса откроется не позже, чем через 3 минуты после прихода Ученого?

Будем считать, что среди восьмиклассников имя Александр встречается в три раза чаще, чем имя Александра, Евгениев втрое меньше, чем Евгений, Валентинов в полтора раза больше, чем Валентин, а Василиев в 49 раз больше, чем Василис. Однажды совершенно случайно выбранная четверка восьмиклассников, про которых мы знаем только, что их зовут Саша, Женя, Валя и Вася, бросали жребий. Найдите вероятность того, что жребий выиграла восьмиклассница, а не восьмиклассник.

Валя и Коля пошли в тир. Коля предложил:
— Валь, давай стрелять по очереди. Кто первый попадет в мишень, тот и победил.
— Это нечестно! Ты стреляешь лучше. Помнишь, Рассеянный Ученый совершенно точно подсчитал, что на одно попадание ты расходуешь в среднем на один выстрел меньше, чем я.
— Хорошо, — согласился Коля. — Стреляй первой. Тогда у нас будут равные шансы на победу.
Валя немного подумала и сказала:
— Все равно нечестно. Давай лучше возьмем два ружья и будем стрелять одновременно, но по двум разным мишеням. Тогда может случиться ничья, а значит, вероятность того, что я хотя бы не проиграю, больше, чем при стрельбе по очереди.
а) Прав ли Коля, утверждая, что если они будут стрелять по очереди, но Валя будет стрелять первой, то шансы у них равны?
б) Права ли Валя, утверждая, что если стрелять по двум мишеням одновременно, то вероятность не проиграть у нее больше, чем вероятность победить при стрельбе по очереди?

Рассмотрим двоичную последовательность, то есть последовательность нулей и единиц. Назовем $1,k-1$-словом фрагмент этой последовательности вида $1\underbrace{00\ldots0}_{k-1}$, за которым непосредственно следует единица или конец последовательности.
Пример. В последовательности $01000\underline{100}101\underline{100}$ ровно два $1, 2$-слова. Они подчеркнуты.
Докажите, что во всех бинарных последовательностях длины $n$, содержащих ровно $m$ единиц, общее количество $1,k-1$-слов равно $m\cdot C_{n-k}^{m-1}$ $(k\leqslant n)$.