Поиск задач

Имеется последовательность из тысячи случайных цифр. Перед этой последовательностью поставили ноль и десятичную запятую. Получилось случайное число $X$, записанное десятичной дробью: $X=0{,}x_1x_2x_3\ldots x_{1000}$. Найдите $\mathrm{E}X$.

Вася и Миша выполняли тест, в котором было 20 вопросов одинаковой сложности и к каждому вопросу даны варианты ответов. Поскольку ни Вася, ни Миша ничего не знали, они только угадывали ответы. Вася угадал верные ответы на 6 вопросов, а Миша — на 8 вопросов, не советуясь с Васей. Найдите математическое ожидание числа совпадений, то есть вопросов, где Вася и Миша оба угадали верные ответы или не угадали.

Светофор на пешеходном переходе одну минуту разрешает переходить улицу, а две минуты — запрещает. Найдите среднее время ожидания зеленого света пешеходом, который подошел к перекрестку.

Магазин «Крокус и Кактус» объявил акцию: если покупатель берет три товара, то самый дешевый из них ему достается бесплатно. Покупатель взял десять товаров, все разной цены: за 100 рублей, за 200 рублей, за 300 рублей и так далее — самый дорогой товар стоил 1000 рублей.
а) Какова наименьшая сумма, которую покупатель заплатит, если удачно разложит свои покупки перед кассиром?
б) Какова наибольшая сумма, которую покупатель заплатит, если неудачно разложит покупки?
в) Найдите математическое ожидание суммы, которую покупатель заплатит, если разложит покупки случайным образом.

Последовательность состоит из $k$ нулей и $m$ единиц, расположенных в случайном порядке. Разобьем последовательность на чередующиеся группы нулей и единиц (группа — участок, состоящий из всех одинаковых цифр, стоящих подряд). Общее число групп — случайная величина. Найдите ее математическое ожидание.
Например, последовательность 00011011100 состоит из пяти групп 000, 11, 0, 111 и 00.

Имеется последовательность из 2015 цифр. Все цифры выбирались из множества от 0 до 9 случайным образом независимо друг от друга. В полученной последовательности производится следующая операция. Если несколько одинаковых цифр идут подряд, то их заменяют одной такой же цифрой. Например, если был фрагмент …044566667…, то вместо него получится …04567…
а) Найдите вероятность того, что последовательность укоротится ровно на одну цифру.
б) Найдите математическое ожидание длины новой последовательности.

Имеются карточки с натуральными числами от 1 до 5. Карточки хорошо перемешали и наугад выбирают две штуки. Найдите вероятность того, что на выбранных карточках окажутся два последовательных числа.

Поле для игры в крестики-нолики (три на три клетки) случайным образом заполняют шестью крестиками и тремя ноликами. Найдите вероятность того, что все три нолика окажутся «в выигрышной позиции», то есть в один ряд по вертикали, по горизонтали или по диагонали.

Монету бросают $n$ раз. Полосой удачи длины $k$ назовем последовательность из $k$ выпавших подряд орлов. Найдите вероятность того, что при 10 бросаниях монеты самая длинная полоса удачи будет иметь длину 4.

Даны 100 чисел. К каждому из них прибавили 2. Сумма квадратов чисел не изменилась. К каждому полученному числу еще раз прибавили число 2. Как изменилась сумма квадратов теперь?

Идет обычный футбольный матч. Ничья возможна. Время ожидания очередного гола не зависит от предыдущих событий матча. Известно, что математическое ожидание общего числа голов в футбольных матчах этих команд равно 2,8. Найдите вероятность того, что в течение матча будет забито четное число голов.

Если бросают игральную кость, то событие $A=\{1, 2, 3\}$ состоит в том, что выпала одна из граней 1, 2 или 3. Аналогично, событию $B=\{1, 2, 4\}$ благоприятствуют грани 1, 2 и 4.
Игральную кость бросили 10 раз. Известно, что событие $A$ осуществилось ровно 6 раз.
а) Найдите вероятность того, что при этом условии событие $B$ не произошло ни разу.
б) Найдите математическое ожидание случайной величины $X$ «Количество осуществлений события $B$».

Футбольный матч продолжается 90 минут. Ничья возможна. Что более вероятно в таком матче: что общее число заброшенных мячей будет четным или что оно окажется нечетным?

У Рассеянного Ученого болела коленка. Доктор прописал ему 10 пилюль от коленок: принимать по одной пилюле ежедневно. Пилюли помогают в 90 % случаев, а в 2 % случаев наблюдается побочное действие — исчезает рассеянность, если была.
Другой доктор прописал Ученому пилюли от рассеянности — тоже по одной в день 10 дней подряд. Эти пилюли излечивают рассеянность в 80 % случаев, но в 5 % случаев есть побочный эффект — перестают болеть коленки.
Баночки с пилюлями похожи, и когда Ученый уехал в десятидневную командировку, он взял с собой одну баночку, но совершенно не обратил внимания — какую. Десять дней он принимал по пилюле в день и вернулся совершенно здоровым. И рассеянность прошла, и коленка не болит. Найдите вероятность того, что Ученый взял с собой пилюли от рассеянности.

Ровно половина населения острова Невезения — зайцы, а все остальные — кролики. Если житель острова Невезения что-нибудь утверждает, он всегда искренне верит в то, что говорит. При этом зайцы добросовестно заблуждаются в среднем в каждом четвертом случае, а кролики добросовестно заблуждаются в среднем в каждом третьем случае. Однажды в центр острова вышел зверь и закричал: «Я не заяц!». Подумал и грустно сказал: «Я не кролик». Какова вероятность того, что он все же заяц?

В колоде 36 игральных карт четырех мастей от шестерки до туза. Володя и Маша тянут по одной карте. Сначала тянет карту Володя, а затем Маша. Маша выиграет, если она вытащит карту старше, чем карта Володи. Иначе выигрывает Володя.
а) Докажите, что жребий несправедливый.
б) Как сделать его справедливым?