Поиск задач

На доске написано несколько чисел. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$, а затем вместо одного из них написать число $\dfrac{a+b}{4}$. Какое наименьшее число может остаться на доске после 2018 таких операций, если изначально на ней написано 2019 единиц?

Пользуясь равенством $\lg 11=1{,}0413\ldots$, найдите наименьшее число $n\gt 1$, для которого среди $n$-значных чисел нет ни одного, равного некоторой натуральной степени числа 11.

Существует ли такая гипербола, задаваемая уравнением вида $y=\dfrac{a}{x}$, что в первой координатной четверти ($x\gt 0$, $y\gt 0$) под ней лежат ровно 82 точки с целочисленными координатами?

Докажите, что для любого натурального числа $n\geqslant 2$ и для любых действительных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$, удовлетворяющих условию $a_1+a_2+\ldots+a_n\ne 0$, уравнение \[ a_1(x-a_2)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+a_2(x-a_1)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\ldots+a_n(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_{n-1})=0 \] имеет хотя бы один действительный корень.

У многогранника, изображенного на рисунке, грани — четыре правильных пятиугольника, четыре треугольника и два квадрата. Во сколько раз сторона верхнего квадрата больше стороны нижнего?