Поиск задач

Даны 12 точек: 7 из них лежат на одной окружности в плоскости $\alpha$, а остальные 5 расположены вне плоскости $\alpha$. Известно, что если четыре точки из всех 12 лежат в одной плоскости, то эта плоскость — $\alpha$. Сколько существует выпуклых пирамид с вершинами в данных точках? (Пирамиды считаются различными, если их множества вершин различны.)

Целые числа $x$, $y$, $z$ удовлетворяют равенству $x\ln 16+y\ln 8+z\ln 24=\ln 6$. Найдите наименьшее возможное значение выражения $x^2+y^2+z^2$.

Из множества $M$, состоящего из семи подряд идущих натуральных чисел, выбираются шестёрки попарно различных чисел такие, что сумма чисел в каждой из шестёрок — простое число. Пусть $p$ и $q$ — две из таких сумм. Найдите множество $M$, если $p^2-q^2=792$.

Диагонали $BD$ и $AC$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$, а отношение оснований $AD:BC=1:2$. Точки $I_1$ и $I_2$ — центры окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$, вписанных в треугольники $BMC$ и $AMD$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $M$, пересекает $\omega_1$ в точках $X$ и $Y$, а $\omega_2$ — в точках $Z$ и $W$ ($X$ и $Z$ находятся ближе к $M$). Найдите радиус окружности $\omega_1$, если $I_1I_2=13/2$, а $MZ\cdot MY=5$.

Дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ ($S$ — вершина) со стороной основания 2 и боковым ребром 4. Точка $X$ лежит на прямой $SF$, точка $Y$ — на прямой $AD$, причём отрезок $XY$ параллелен плоскости $SAB$ (или лежит в ней). Найдите наименьшую возможную длину отрезка $XY$.

Углы выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию, имеющую разность $2^\circ$ и начинающуюся с угла $143^\circ$. Какое наибольшее число вершин может быть у такого многоугольника?

Что больше: $5-4\sin\dfrac{3\pi}{14}$ или $4\cos\dfrac{\pi}{7}-5\sin\dfrac{\pi}{14}$?