Поиск задач

Прямоугольник $\Pi$ разбит прямыми, параллельными его сторонам, на девять маленьких прямоугольников. Про какое наименьшее количество маленьких прямоугольников достаточно узнать площади, чтобы можно было однозначно определить площадь прямоугольника $\Pi$?

На острове каждый житель либо рыцарь (всегда говорит правду), либо лжец (всегда лжёт), либо обычный человек (может как говорить правду, так и лгать). Рыцари считаются людьми высшего ранга, обычные люди — среднего, а лжецы — низшего. А, В и С — жители этого острова. Один из них — рыцарь, другой — лжец, а третий — обычный человек. А и В сказали следующее. А: «В по рангу выше, чем С». B: «С по рангу выше, чем А». Что ответил С на вопрос: «Кто выше по рангу — А или В?»

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 26x^2+42xy+17y^2=10,\\ 10x^2+18xy+8y^2=6. \end{cases} \]

Четырёхзначное число $X$ не кратно $10$. Сумма числа $X$ и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, равна $N$. Оказалось, что число $N$ делится на $100$. Найдите $N$.

При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ x^3+y^3+x^2y+xy^2=\sqrt{a}(x^2+y^2)+\sqrt{13-a}(x+y)-\sqrt{13a-a^2} \] имеет ровно четыре решения в целых числах?

Прямая $c$ задаётся уравнением $y=x+1$. Точки $A$ и $B$ имеют координаты $A(1,0)$ и $B(3,0)$. На прямой $c$ найдите точку $C$, из которой отрезок $AB$ виден под наибольшим углом.

В турнире по мини-футболу принимаются ставки на четыре команды. На первую команду ставки принимаются в соотношении $1:5$ (при выигрыше первой команды игрок получает сумму, которую он поставил на эту команду, и плюс пятикратную сумму, т. е. получает в шесть раз больше поставленных денег, а при проигрыше деньги не возвращаются). На вторую команду ставки принимаются в соотношении $1:1$, на третью — $1:8$, на четвертую — $1:7$. Можно ли так поставить, чтобы выиграть при любом исходе турнира?

Основания $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны $65$ и $31$ соответственно, а её диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{BC}$.

Будем обозначать $f^{(n)}(x)$ последовательное применение $n$ раз функции $f$ (например, $f^{(2)}(x)=f(f(x))$ и т. д.). Даны функции $g(x)=\dfrac{1}{x+1}$ и $h(x)=\dfrac{x+1}{x}$. Найдите значение выражения \[ g^{(2015)}(100)\cdot h^{(2015)}(1/100). \]

Сумма первых тринадцати членов некоторой арифметической прогрессии составляет $50\%$ от суммы последних тринадцати членов этой прогрессии. Сумма всех членов этой прогрессии без первых трёх членов относится к сумме всех членов без последних трёх как $5:4$. Найдите количество членов этой прогрессии.