Поиск задач

На доске написаны некоторые целые числа. На каждом шаге мы выбираем числа $a$ и $b$ и заменяем их на числа \[ 5a-3b\quad\text{и}\quad 7a-5b. \] Вначале были записаны числа \[ 15, 16, 17, \ldots, 40. \] Можно ли через конечное число шагов получить на доске числа $2001, 2002, 2003, \ldots, 2026$?

Найдите число решений уравнения \[ 2^{2\sin x}+7^{2\sin x}+1=14^{\sin x}+2^{\sin x}+7^{\sin x} \] на отрезке $[-3{,}14;315]$.

Таня задумала две такие цифры $a$ и $b$, что составленное из них двузначное число является простым и произведение двух четырёхзначных чисел $\overline{793a}$ и $\overline{1b09}$ при делении на 11 дает в остатке 1. Определите все возможные значения получающегося простого числа.

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, угол $A$ — прямой, $AC=AD$. На стороне $AB$ выбрана точка $M$ так, что $MC$ пересекает $BD$ в точке $N$, $BM=BN=AD$. Найдите площадь четырехугольника $ABCD$, если $DC=6$.

Уравнение \[ x^3+\left(23+10\sqrt3\right)x=\left(10+\sqrt3\right)x^2+23\sqrt3 \] имеет три корня: $a$, $b$ и $c$. Какие значения может принимать объем параллелепипеда со сторонами $a+1$, $b+1$, $c+1$?

Петя и Вася играют в кубики. За один ход Петя бросает правильный 12-гранник (додекаэдр) с числами $1, 2, \ldots, 12$ на гранях. За один ход Вася бросает два кубика (гексаэдра) с числами $1, 2, \ldots, 6$ на гранях и складывает два выпавших на них числа. Побеждает тот игрок, у кого больше очков. Второй ход делается только в случае равного количества очков. Если победитель опять не выявлен, делается третий ход. После этого игра заканчивается в любом случае.
а) Какова вероятность, что Петя выиграет уже после первого хода?
б) Какова вероятность того, что победитель так и не будет выявлен?
в) У кого из игроков вероятность выиграть больше, и чему она равна?