Поиск задач

Найдите все тройки целых чисел $(a;b;c)$, для которых $a+bc$, $b+ac$ и $b^2-a^2+21c^2$ — три последовательных натуральных числа, расположенных в порядке возрастания.

Найдите все отрицательные значения параметра $a$, для каждого из которых найдётся такое значение $b$, что система \[ \begin{cases} y=x+b,\\ y(|x|-|x-a|-a)=2(x-a) \end{cases} \] имеет более двух решений.

Цветочный луг, гречишное поле и липовая роща расположены в трёх точках, не лежащих на одной прямой. Пасечник поставил улей на прямолинейной тропинке между лугом и полем так, чтобы сумма расстояний от улья до луга, поля и рощи была наименьшей. На каком расстоянии от луга установлен улей, если известно, что длина тропинки равна $1000$ м, расстояния от улья до луга, рощи и поля (в указанном порядке) являются тремя последовательными членами некоторой геометрической прогрессии, а длина тропинки, расстояние от рощи до луга и расстояние от рощи до поля — соответственно вторым, четвёртым и шестым членами некоторой арифметической прогрессии?

Пусть $a$, $b$, $c$ — три попарно различных ненулевых числа. Для каждой пары из чисел $0$, $a$, $b$ и $c$ выписывается приведённый квадратный трёхчлен, корнями которого является эта пара чисел. Обозначим полученные трёхчлены $f_1, f_2, \ldots, f_6$. Пусть $f=f_1+f_2+\ldots+f_6$. Найдите сумму $S=a^2+b^2+c^2$, если $f(0)=11$, а $f(1)=-1$. (Сами числа $a$, $b$ и $c$ не даны.)

Петя случайно раскладывает $56$ одинаковых шаров по $3$ пронумерованным ящикам. Найдите вероятность того, что в каждом ящике окажется чётное (возможно, нулевое) количество шаров.

Окружность $\omega$, построенная на высоте $AH$ треугольника $ABC$ как на диаметре, пересекает сторону $AB$ этого треугольника в её середине $M$. Высота $AH$ лежит внутри треугольника. На стороне $AC$ отмечена точка $X$ такая, что $CM$ делит отрезок $HX$ пополам. Найдите отношение $AX:XC$, если $BC:AB=2\sqrt{2}$.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AP$ и $CQ$. Пусть $M$ и $T$ — соответственно середины сторон $AC$ и $AB$. Известно, что $\angle PBQ=\angle PMQ$. Найдите $QT$, если $AB=3$, $BC=5$.