Поиск задач

Пусть $F(x)=x^2+ax+b$, где $a$, $b$ — некоторые коэффициенты. На какую наименьшую величину может отличаться наибольшее значение функции $G(x)=|F(x)|$ от наименьшего значения этой функции на отрезке $[-1;5]$?

Решите уравнение \[ \left(\sqrt x\right)^{2016}+\left(\sqrt{1-x}\right)^{2016}=1. \]

Найдите все натуральные числа, которые в 36 раз больше суммы своих цифр.

Решите в натуральных числах уравнение \[ 2n-\frac1{n^5}=3-\frac2n. \]

Филателист Андрей решил разложить все свои марки поровну в 3 конверта, но оказалось, что одна марка лишняя. Когда он разложил их поровну в 5 конвертов, лишними оказались 3 марки; наконец, когда он разложил их поровну в 7 конвертов, осталось 5 марок. Сколько всего марок у Андрея, если известно, что недавно он купил для них дополнительный альбом, вмещающий 150 марок, так как такого же старого альбома уже не хватало?

В трапеции $ABCD$ известны основания $AD=12$, $BC=7$ и боковые стороны $AB=3$, $CD=4$. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции.

Мудрый Гендальф сказал Фродо, что для того, чтобы перевести эльфийские мили в обычные, нужно разделить расстояние в эльфийских милях на 5 и полученное число уменьшить на 5%. Фродо решил, что для перевода из человеческих миль в эльфийские нужно расстояние в обычных милях умножить на 5 и полученное число увеличить на 5%. На сколько процентов от правильного значения расстояния в эльфийских милях он ошибётся, если будет так переводить?