Поиск задач

На координатной плоскости дан параллелограмм с вершинами в точках $O(0;0)$, $P(-14;42)$, $Q(6;42)$ и $R(20;0)$. Найдите количество пар точек $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2;y_2)$ с целыми координатами, лежащих в этом параллелограмме (возможно, на границе) и таких, что $3x_2-3x_1+y_2-y_1=33$.

Решите уравнение \[ 5\arcsin(\cos x)=x+\frac{\pi}{2}. \]

Натуральные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $ab$ делится на $2^9 3^{10} 5^{10}$, $bc$ делится на $2^{14} 3^{13} 5^{13}$, $ac$ делится на $2^{19} 3^{18} 5^{30}$. Найдите наименьшее возможное значение произведения $abc$.

Найдите все значения параметра $a$, для каждого из которых найдётся значение параметра $b$, при котором система уравнений \[ \begin{cases} ax+2y-3b=0,\\ \left(x^2+y^2-9\right)\left(x^2+y^2-12x+32\right)=0 \end{cases} \] имеет ровно 4 решения.

Дан прямоугольный треугольник $ABC$. Окружность, касающаяся прямой $BC$ в точке $B$, пересекает высоту $CD$, проведённую к гипотенузе, в точке $F$, а катет $AC$ — в точке $E$. Известно, что $AB\parallel EF$, $AD:DB=3:1$. Найдите отношение площади треугольника $ABC$ к площади треугольника $CEF$.

Дана треугольная пирамида $SABC$, медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. Сфера $\Omega$ касается ребра $AS$ в точке $L$ и касается плоскости основания пирамиды в точке $K$, лежащей на отрезке $AM$. Сфера $\Omega$ пересекает отрезок $SM$ в точках $P$ и $Q$. Известно, что $SP=MQ$, площадь треугольника $ABC$ равна 90, $SA=BC=12$.
а) Найдите произведение длин медиан $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.
б) Найдите двугранный угол при ребре $BC$ пирамиды, если дополнительно известно, что $\Omega$ касается грани $BCS$ в точке $N$, $SN=4$, а радиус сферы $\Omega$ равен 5.

Некоторые числа $x$ и $y$ удовлетворяют равенствам \[ \log_3^4 x+6\log_x 3=\log_{x^2}243-8\quad\text{и}\quad\log_3^4(5y)+2\log_{5y}3=\log_{25y^2}\left(3^{11}\right)-8. \] Найдите все возможные значения произведения $xy$.