Поиск задач

Каждое из чисел $1,\,2,\,\ldots,\,39$ встречается в квадратной табличке $39\times39$ ровно $39$ раз. Сумма всех чисел, расположенных выше диагонали таблицы, в $3$ раза больше суммы чисел, находящихся под ней. Найти сумму чисел на диагонали.

Доказать, что сумма $1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac{1}{346}$ представляет собой дробь, числитель которой делится на $347$.

Угол при вершине $A$ остроугольного треугольника $ABC$ равен $60^\circ$. Через вершины $B$ и $C$ проведены прямые, перпендикулярные сторонам $AB$ и $AC$ соответственно, пересекающиеся в точке $D$. Через вершину $B$ проведена прямая, перпендикулярная прямой $AD$ и пересекающая сторону $AC$ в точке $M$. Длины отрезков $MA$ и $MC$ равны $3$ и $1$ соответственно. Найти длину стороны $BC$.

Петя написал на доске четыре числа: $5$, $4$, $4$, $3$ и сказал Васе, что это записанные в произвольном порядке сумма, разность, произведение и частное двух положительных придуманных им чисел. Вася подумал и назвал эти числа. А вы можете это сделать?

Заемщик и кредитор договорились, что беспроцентный кредит в $615$ т. р. будет выплачиваться ежемесячно в последний день месяца. В первый месяц возвращается некоторая сумма (целое число т. р.), а в каждый последующий месяц возвращается сумма на $1$ т. р. большая, чем в предыдущем месяце. На какое максимальное число месяцев мог быть выдан такой кредит и какую сумму при этом выплатил заемщик в первый месяц?