Поиск задач

Найти целые $x$, для которых \[ x^2\sin\dfrac{\pi x}{2}\geqslant10-6\cos\dfrac{\pi x}{3}. \]

Вася и Петя занялись тем, что выкладывали на столе фигуры из одинаковых картонных правильных треугольников. Когда каждый из них собрал свой большой правильный треугольник (без дырок), то оказалось, что Вася использовал на него на $161$ треугольник больше, чем Петя. Сколько треугольников использовал Петя, если у него их было не более $100$ штук?

Найти шесть ненулевых целых чисел, произведение которых не меняется, если из каждого них вычесть двойку.

Многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами при $x=2$ принимает значение $3$, а при $x=4$ — его значение равно $1$. Известно, что уравнение $P(n)=n-1$ имеет целое решение. Найти это решение.

Муравейник, в котором проживает муравей Гоша, имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с боковым ребром $50$ см и плоским углом при вершине $\pi/6$. Гоша совершил прогулку по поверхности муравейника, выйдя из вершины основания, возвратившись в нее же и побывав на всех боковых гранях муравейника. Во время своей прогулки Гоша никогда не приближался к вершине муравейника ближе, чем на $30$ см. Какое наименьшее возможное расстояние мог преодолеть Гоша за время прогулки?