Поиск задач

Решить уравнение \[ \left(\sin x+\sqrt{1+\sin^2x}\right)\left(\cos2x+\sqrt{1+\cos^22x}\right)=1. \]

Найти наибольшее значение выражения \[ F=\dfrac{(5n-18)\,\text{НОД}(n+9,n+2)}{\text{НОК}(n+9,n+2)} \] на множестве натуральных чисел. При каком $n$ оно достигается?

Петя написал на бумаге некоторый многочлен с неотрицательными целыми коэффициентами и думал, что Вася, задав только два вопроса Пете по телефону, никогда не сможет определить все коэффициенты многочлена. На первый Васин вопрос: «Чему равно значение многочлена при $x=3$?» Петя ответил «$49$». На второй Васин вопрос: «Чему равно значение многочлена при $x=49$?» был получен ответ «$122455$». Вася, немного подумав, назвал Пете все коэффициенты многочлена, который он написал. Какой многочлен придумал Петя?

Петя совершенно случайно написал на бумаге два телефонных номера. Какова вероятность того, что суммы последних двух цифр этих номеров отличаются на $6$ единиц?

Доказать, что уравнение \[ x^3-6x=a^3+\dfrac{8}{a^3} \] не может иметь трех действительных решений ни при каких $a$.
При каких $a$ уравнение имеет два различных решения? Найти эти решения.

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды наклонено к плоскости ее основания под углом $45^\circ$. В пирамиду вписан куб так, что четыре его вершины лежат на основании пирамиды, а другие четыре — на ее боковых гранях. Найти отношение объемов куба и пирамиды.