Поиск задач

При каких целых числах $b$ и $c$ выражение \[ \sqrt{4x^2+bx+c} \] целое при любых целых $x$?

Множество вертикальных и горизонтальных параллельных прямых разбивают плоскость на бесконечное число равных прямоугольников со сторонами $1$ и $\sqrt3$. Пусть $A$ — одна из точек пересечения прямых. Рассмотрим множество всех равносторонних треугольников с вершиной в точке $A$ и двумя другими вершинами, расположенными в точках пересечения прямых. Какое минимальное значение может принимать площадь таких треугольников? Сколько треугольников из этого множества имеет площадь $39\sqrt3$?

Около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность. Длины сторон $AB$ и $AD$ равны. На стороне $CD$ расположена точка $Q$ так, что $DQ=1$, а на стороне $BC$ — точка $P$ так, что $BP=2$. При этом $\angle DAB=2\angle QAP$. Найти длину отрезка $PQ$.

Доказать, что число $x_1=-\sin\dfrac{\pi}{18}$ является корнем кубического уравнения \[ 8x^3-6x-1=0. \] Найти два других его корня.

В колоде $10$ карт, на каждой из них нарисовано одно из чисел от $1$ до $10$. Случайно выбранную из колоды карту кладут на стол, показывают всем написанное на ней число и возвращают ее в колоду. После этого колода тщательно перемешивается и готова к продолжению игры. Петя выкладывал на стол карту три раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших чисел оказалась равной $5$?

Скорость движения тела на прямой изменяется по закону $v(t)=A|\sin(\alpha t)|$, $t\geqslant0$ с некоторыми константами $A\gt 0$ и $0\lt \alpha\lt 0{,}2$. Известно, что за каждые $20$ сек. точка проходит путь $2$ м. Какой путь пройдет тело спустя $65$ сек. после начала движения?