Поиск задач

Найти наименьшее положительное значение выражения $x+y$ для всех пар чисел $(x;y)$, удовлетворяющих уравнению $(\sin x+\cos y)(\cos x-\sin y)=1+\sin(x-y)\cos(x+y)$.

Сколько существует натуральных чисел $n\leqslant 2020$, для которых дробь $\frac{6n^3+n^2-5n+12}{6n^2+7n+2}$ сократимая?

Доказать, что для любого многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами выражение $P(b)-P(a)$ делится на $(b-a)$ при любых целых $a$, $b$, $a\neq b$. Известно, что уравнение $P(x)=8$ имеет целый корень на полуоси $x\geqslant 8$ и $P(4)=17$. Найти этот корень.

Точка $M$ — середина стороны $AD$ параллелограмма $ABCD$. Прямая $CM$ наклонена к основанию $AD$ под углом $30^\circ$. Вершина $B$ равноудалена от прямой $CM$ и вершины $A$. Найти углы параллелограмма. Найти площадь параллелограмма, если длина основания $AD$ равна 2.

Петя, Вася и Иван каждый на своей карточке написал наугад по одной цифре и передали карточки Маше так, чтобы она не видела написанных цифр. Маша случайным образом перемешала карточки и выложила их в ряд на стол. Найти вероятность того, что на столе можно увидеть трехзначное число кратное 5, имеющее при делении на 7 остаток 3.

Решить уравнение $\sin\left(x(\eta(x)-\eta(x-7\pi))\right)=1+\cos x$, где $\eta(x)=\begin{cases}1, & x\geqslant 0\\ 0, & x\lt 0\end{cases}$