Поиск задач

Число $p$ таково, что неравенство $\dfrac{4a}{3b+4c}+\dfrac{6b}{4c+2a}+\dfrac{8c}{2a+3b}\geqslant p$ выполняется для всех положительных чисел $a$, $b$, $c$. Найдите наибольшее значение $p$.

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^2+2x+2=2\sqrt{y^3z^5},\\ 1-y=2xz\sqrt{1-4y^3z^5}+\sqrt{7-y}. \end{cases} \]

Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} \left(\dfrac{|x-1|}{x-1}+3a\right)^2=24-4x^2-4x,\\ 16x^2-27a^2+6ax+22x+12a+7\leqslant 0 \end{cases} \] имеет решения. Укажите эти решения при найденных значениях параметра $a$.

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$ так, что $BK=5$, $KC=4$. Около треугольника $ABK$ описана окружность с центром в точке $O$, причем площадь треугольника $AOC$ равна $2\sqrt{15}$. Через точку $C$ и середину $D$ стороны $AB$ проведена прямая, которая пересекает окружность в точке $P$, причем $CP\gt CD$. Найдите $CD$, если $\angle APB=\angle BAC$.

Боковые ребра $TA$, $TB$ и $TC$ тетраэдра $TABC$ попарно перпендикулярны, $TH$ — высота тетраэдра, $\angle TAH=30^\circ$, $\angle TBH=45^\circ$, $BC=\sqrt6$. Точка $K$, лежащая в плоскости основания $ABC$, равноудалена от боковых граней тетраэдра $TABC$. Найдите $HK$.

Спутник связи движется по круговой орбите вокруг Земли (имеет форму шара) на высоте $H$, равной радиусу Земли $R=6372$ км, с периодом обращения $T=4$ ч и постоянной угловой скоростью $\omega=\frac{2\pi}{T}$.
Для того, чтобы в центре управления полетами (ЦУП) можно было получать сигнал от спутника (иметь окно для связи), он должен находиться выше плоскости горизонта ЦУПа. Определите количество окон для связи ЦУПа со спутником в течение суток и общую продолжительность этих окон, если траектория полета спутника проходит ровно над ЦУПом.