Поиск задач

Назовем число «новогодним», если в нем все цифры различные, оно не начинается с цифры 2 и при вычеркивании некоторого числа его цифр можно получить 2018. Сколько существует различных семизначных «новогодних» чисел?

Можно ли из 37 ниток сплести сетку так, чтобы каждая нитка была связана ровно с пятью другими?

Найти все значения параметра $b$, при которых неравенство $2b+b^2-2b\sin x\gt \cos^2x+2$ выполняется при любом значении $x$.

Через центр $O$ вписанной в треугольник $ABC$ окружности проведена прямая, параллельная $AC$, которая пересекает его боковые стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Вторая окружность вписана в треугольник $MBK$ и касается его боковой стороны $MB$ в точке $E$, а первая окружность касается стороны $AB$ в точке $F$. Найдите длину отрезка $EF$, если периметр треугольника $MBK$ равен 6, а $AC=3$.

Спортсмены студенческой команды должны были выйти на спортивный праздник прямоугольным строем по 45 человек в ряд. По прибытии выяснилось, что не все спортсмены взяли с собой нужную спортивную форму и, следовательно, они не смогут принять участие в празднике. Оставшихся спортсменов перестроили так, что число рядов стало на два меньше, а число спортсменов в каждом ряду стало на 48 больше числа новых рядов. Известно, что если бы все спортсмены приняли бы участие в празднике, то их можно было бы выстроить прямоугольным строем так, что число спортсменов в каждом ряду равнялось числу рядов. Сколько спортсменов планировали принять участие в спортивном празднике?

Сравните числа: $99!$ и $50^{99}$ (напомним: $n!=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot(n-1)\cdot n$).

Решить уравнение: \[ \sqrt{x-15}+\sqrt{x+80}+2\sqrt{x-15}\sqrt{x+80}=315-2x. \]

Решить неравенство: \[ \dfrac{\left(\sqrt{x^2-4x+3}+\sqrt{3-x}\right)^2\left(x^2-4\sqrt{x^2-6x+9}\right)}{x^2+2\sqrt{x^2-8x+16}}\geqslant 0. \]