Поиск задач

По кругу, на котором расположены точки с номерами от 1 до 2018, начиная с первой точки, движется аппарат и стирает каждую вторую точку по ходу пока не останется одна. Какой на ней будет номер? (Сначала стирается точка с номером 2, затем с номером 4 и т. д.).

Можно ли разбить числа $1, 2, 3, \ldots, 99, 100$ на три группы так, чтобы сумма чисел в одной группе делилась на 102, сумма чисел в другой группе делилась на 203, а сумма чисел в третьей группе делилась на 304?

В треугольнике $ABC$ с основанием $AC=14$ и боковыми сторонами $AB=13$ и $BC=15$ из центра вписанной окружности строится ломаная линия из трех звеньев так, что конечная ее точка — центр описанной около $ABC$ окружности, а еще две точки $M$ и $K$ лежат на боковых сторонах треугольника $ABC$. Найдите площадь треугольника $MBK$, если длина этой ломаной линии наименьшая.

Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ (a+2)x^2+(|a+3|-|a+11|)x+a=4 \] имеет два различных положительных корня.

Вычислите $\operatorname{tg}^2x+\operatorname{ctg}^2x$, если $\operatorname{tg}x-\operatorname{ctg}x=-3$.

Из пункта А в пункт В в 9-00 утра выезжает автобус. В этот же момент из В в А выезжают грузовик и трактор, причём скорость грузовика в два раза больше скорости трактора. Автобус прибывает в В тот же день в 14 часов 50 минут, при этом он встречает грузовик не ранее 11 часов 30 минут утра. Определите время прибытия трактора в пункт А, если между моментами встреч автобуса с грузовиком и автобуса с трактором проходит не менее одного часа.

Решите уравнение: $\sqrt[4]{514-x}+\sqrt[4]{192+x}=8$.

Решить неравенство: \[ \dfrac{15(x+1)^4}{x(x^2+1)}\geqslant 128. \]