Поиск задач

Решите уравнение \[ \dfrac{2\operatorname{tg}^4 6x+4\sin4x\sin8x-\cos8x-\cos16x+2}{\sqrt{\cos x-\sqrt3\sin x}}=0. \]

Два числа $x$ и $y$ удовлетворяют уравнению $26x^2+23xy-3y^2-19=0$ и являются соответственно шестым и одиннадцатым членами убывающей арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел. Найдите разность этой прогрессии.

Найдите все значения $a$, при которых система уравнений \[ \begin{cases} 2y-2=a(x-1),\\ \dfrac{2x}{|y|+y}=\sqrt x \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение, и решите ее при каждом $a$.

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$ так, что $AK=8$, $BK=24$, $KC=3$. Около треугольника $ABK$ описана окружность. Через точку $C$ и середину $D$ стороны $AB$ проведена прямая, которая пересекает окружность в точке $P$, причем $CP\gt CD$. Найдите $DP$, если $\angle APB=\angle BAC$.

Боковые ребра треугольной пирамиды $TABC$ образуют между собой прямые углы. Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину $C$ и середину стороны $AB$ основания, если боковые ребра $TA=6$, $TB=12$, $TC=2$? Какое из боковых ребер пересекает в этом случае плоскость и на какие части его делит?

Решите неравенство $\log_x\left(36-60x+25x^2\right)\lt 0$.

На прямой $x=1$ найдите точку $M$, через которую проходят две касательные к графику функции $y=x^2/4$, угол между которыми равен $45^\circ$.

Найдите множество значений функции \[ f(x)=1/g\bigl(64g(16g(\log_2x))/5\bigr), \] где $g(x)=\sqrt[5]{x}+1/\sqrt[5]{x}$.

Решите неравенство \[ \dfrac{\left(5\cdot2^{-\log_x3}-2{,}5\right)\sqrt{2-\sqrt{\log_x3+1}}}{1+\sqrt{\log_x3+8}}\gt \dfrac{\left(2^{-\log_x3}-0{,}5\right)\sqrt{2-\sqrt{\log_x3+1}}}{\sqrt{\log_x3+8}-3}. \]

Из пункта $A$ в пункт $B$, расстояние между которыми равно $24$ км, одновременно вышел пешеход и выехал велосипедист. Затратив на путь от $A$ до $B$ не менее двух часов, велосипедист, не останавливаясь, повернул обратно и стал двигаться по направлению к пункту $A$ со скоростью в два раза большей первоначальной. Через $24$ мин после своего отправления из пункта $B$ велосипедист встретился с пешеходом. Определите наибольшее возможное целое значение скорости (в км/ч) пешехода, и для этого значения скорости пешехода найдите первоначальную скорость велосипедиста.