Поиск задач

На плоскости с заданной прямоугольной декартовой системой координат нарисован квадрат с вершинами в точках $(0;0)$, $(0;59)$, $(59;59)$ и $(59;0)$. Найдите количество способов выбрать два узла сетки внутри этого квадрата (не включая его границу) так, чтобы хотя бы один из этих узлов лежал на одной из прямых $y=x$ или $y=59-x$, но оба выбранных узла не лежали ни на какой прямой, параллельной любой из координатных осей.

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \dfrac{2}{x^2+y^2}+x^2y^2=2,\\ x^4+y^4+3x^2y^2=5.\end{cases} \]

Точка $D$ лежит на стороне $AC$ треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BD$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $T$ соответственно. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AD$ и $CD$ соответственно. Известно, что $PM\parallel TN$.
а) Найдите угол $ABC$.
б) Пусть дополнительно известно, что $MP=\frac12$, $NT=\frac52$, $BD=2$. Найдите площадь треугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, и при этом треугольники $BOC$ и $AOD$ — правильные. Точка $T$ симметрична точке $O$ относительно середины стороны $CD$.
а) Докажите, что $ABT$ — правильный треугольник.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=3$, $AD=7$. Найдите отношение площади треугольника $ABT$ к площади четырёхугольника $ABCD$.

На плоскости $Oxy$ уравнением $26a^2-22ax-20ay+5x^2+8xy+4y^2=0$ заданы координаты точки $A$, а уравнением $ax^2+2a^2x-ay+a^3+1=0$ — парабола с вершиной в точке $B$. Найдите все значения параметра $a$, при которых точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $3x-y=4$ (точки $A$ и $B$ не лежат на этой прямой).

Решите уравнение $\sqrt{x+4}-\sqrt{6-x}+4=2\sqrt{24+2x-x^2}$.