Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 331
Назовём натуральное число $n$ квадратируемым, если числа от 1 до $n$ можно расставить в таком порядке, что каждый член последовательности в сумме со своим номером даёт точный квадрат. Например, число 5 квадратируемо, так как можно расставить числа так: 3 2 1 5 4, при этом $3+1=2+2=1+3=4$ и $5+4=4+5=9$. Выясните, какие из чисел 7, 9, 11, 15 являются квадратируемыми.
Ответ:
Решение:
В коробке у Вани лежат 32 новогодних шара, которыми Ваня начинает украшать ёлку. Каждый шар он сначала в течение 15 секунд выбирает в коробке, а затем в течение 20 секунд вешает на ёлку. Две его младших сестры Аня и Таня незаметно снимают шары с ёлки и прячут среди своих игрушек. Дождавшись момента, когда Ваня начинает искать в коробке очередной шар, одна из сестёр (но не обе) может снять с ёлки один шар (на это ей требуется ровно 15 секунд). После этого, на то, чтобы спрятать украденный шар, у Ани уходит одна минута и 45 секунд, после чего она готова украсть с ёлки следующий шар, а Таня прячет шар за три минуты и 45 секунд. Какое наименьшее число шаров может висеть на ёлке в тот момент, когда Ваня повесит свой последний шар?
Ответ:
Решение:
На подвешенном в воздухе кубике Рубика, на центральном квадратике одной из его граней, сидит жучок. В какой-то момент он начинает движение по поверхности куба, передвигаясь за каждую секунду на соседний квадратик, т. е. на квадратик, имеющий общую сторону с текущим. Соседний квадратик для первого перемещения был выбран произвольно, а затем жучок следовал таким правилам:
- При 2-м, 4-м и других чётных перемещениях жучок не менял направления своего движения, т. е. покидал квадратик через сторону, противоположную той, через которую он на этот квадратик попал.
- При 3-м, 5-м и других нечётных перемещениях жучок поворачивал направо (относительно своего движения).
Ответ:
Решение:
На подвешенном в воздухе кубике Рубика, на одном из его 54 квадратиков, сидит жучок. В какой-то момент он начинает движение по поверхности куба, передвигаясь за каждую секунду на соседний квадратик, т. е. на квадратик, имеющий общую сторону с текущим. Соседний квадратик для первого перемещения был выбран произвольно, а затем жучок следовал таким правилам:
- при 2-м, 4-м и других четных перемещениях жучок не менял направления своего движения, т. е. покидал квадратик через сторону, противоположную той, через которую он на этот квадратик попал;
- при 3-м, 5-м и других нечетных перемещениях жучок поворачивал направо (относительно своего движения).
Ответ:
Решение:
Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на три части так, чтобы линии разреза не проходили по сторонам клеток и чтобы из частей можно было сложить квадрат. Предложите как можно большее число способов такого разрезания.
Ответ:
Решение:
В некоторой стране алфавит состоит из трёх букв: «М», «Г» и «У». Словом называется любая состоящая из этих букв конечная последовательность, в которой две согласные не могут стоять рядом и две гласные не могут стоять рядом. Сколько в этой стране состоящих из 200 букв слов, которые содержат каждую из трёх букв хотя бы по разу?
Ответ:
Решение:
Сколькими способами можно прочитать слово «РОТОР», двигаясь по буквам рисунка, если возвращаться по пути к пройденным буквам нельзя, а прочтения, отличающиеся только направлением, считаются одинаковыми?\[\begin{array}{l}\text{Р О Т О Р}\\\text{О Т О Р}\\\text{Т О Р}\\\text{О Р}\\\text{Р}\end{array}\]
Ответ:
Решение:
Бросается стандартная игральная кость (кубик, от 1 до 6 очков на грани, сумма очков на противоположных гранях равна семи). После броска записываем результат, перекатываем кубик случайным образом на одну из соседних граней, записываем новый результат, потом снова случайно перекатываем кубик на одну из соседних граней, и записываем третий результат. Сколько разных возрастающих последовательностей очков мы можем получить?
Ответ:
Решение:
Петя и Ваня составили из кубиков столбики по четыре кубика в каждом, но действовали по разным правилам: у Пети в каждом столбике есть кубики красного, жёлтого, зелёного и синего цветов, а у Вани — только красного, жёлтого и зелёного цветов. Оказалось, что все составленные столбики между собой различны, причём ни Петя, ни Ваня, следуя своим правилам, новых столбиков составить не могут. Кто из мальчиков составил больше столбиков и во сколько раз?
Ответ:
Решение:
Каждую клетку таблицы $3\times3$ раскрашивают в один из трёх цветов так, что клетки, имеющие общую сторону, имеют разный цвет. Среди всех возможных таких раскрасок найдите долю тех, в которых использовано ровно два цвета.
Ответ:
Решение:
В кино пришли 5 девочек, 3 мальчика и учительница. Все они расселись в первом ряду, в котором места пронумерованы от 1 до 10. По пути в кинотеатр 5 девочек начали активно общаться, и учительница решила, что сажать их рядом небезопасно. Между любыми двумя девочками должно быть минимум одно место: или незанятое, или занятое мальчиком или учительницей. Сколько различных способов рассадки имеется? (Два способа отличаются, если хотя бы один из участников группы сидит на местах с разными номерами.)
Ответ:
Решение:
Есть некоторое количество одинаковых целлофановых пакетов, которые можно вкладывать друг в друга. Если внутри одного из пакетов оказались все остальные пакеты, назовём такую ситуацию «пакетом пакетов». Посчитайте, сколькими способами можно сложить «пакет пакетов» из 10 пакетов.
Пояснение. Обозначим скобочками пакет. Если у нас был один пакет, то способ сложить «пакет пакетов» всего один: (). Два пакета тоже можно сложить всего одним способом: (()). Три пакета можно сложить двумя разными способами: (()()) и ((())), и т. д. Порядок пакетов внутри не важен. Например, вариант ((())()) не отличается от (()(())).
Пояснение. Обозначим скобочками пакет. Если у нас был один пакет, то способ сложить «пакет пакетов» всего один: (). Два пакета тоже можно сложить всего одним способом: (()). Три пакета можно сложить двумя разными способами: (()()) и ((())), и т. д. Порядок пакетов внутри не важен. Например, вариант ((())()) не отличается от (()(())).
Ответ:
Решение:
Есть два ряда — верхний и нижний, каждый из 6 точек (см. рисунок). Проводят отрезки с концами в противоположных рядах так, чтобы из каждой точки выходил ровно один отрезок. Сколько существует способов провести отрезки, чтобы среди всех пар отрезков было ровно 7 пар пересекающихся отрезков?
Ответ:
Решение:
На плоскости есть три одинаковых прямоугольных треугольника со сторонами 3, 4, 5 (см. рис.). Они одинаково ориентированы, их можно двигать и вращать, но нельзя накладывать друг на друга (касаться сторонами можно) и нельзя класть обратной стороной вверх (то есть, как бы вы ни двигали треугольник, стороны 3 - 4 - 5 будут расположены по ходу часовой стрелки). Посчитайте, сколько различных «жёстких» фигур можно собрать, используя все эти треугольники. Фигура считается «жёсткой», если у каждого её треугольника есть с каким-нибудь другим треугольником общая вершина и общий граничный отрезок с концом в этой вершине (необязательно целая сторона).
Ответ:
Решение:
Пусть $F$ — множество точек на плоскости, координаты которых являются натуральными числами, не превосходящими 10. Найдите количество прямоугольных треугольников, вершины которых принадлежат $F$, а каждый из катетов параллелен одной из координатных осей.
Ответ:
Решение:
Дан правильный 27-угольник $A_1A_2\ldots A_{27}$. Найдите количество неравнобедренных треугольников с вершинами в точках $A_1$, $A_2$, …, $A_{27}$. Треугольники, отличающиеся порядком вершин (например, $A_1A_2A_4$ и $A_2A_4A_1$), считаются за один треугольник.
Ответ:
Решение:
Сколько диагоналей в правильном 32-угольнике не параллельны ни одной из сторон этого 32-угольника?
Ответ:
Решение:
Сколько существует различных многочленов вида $P(x)=x^5+Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E$, где $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ — целые положительные числа, для которых $P(-1)=11$, $P(1)=21$?
Ответ:
Решение:
Дан клетчатый квадрат $101\times101$ с занумерованными клетками. Из него нужно вырезать клетчатый прямоугольник меньшего размера так, чтобы квадрат не распался на две части и у оставшейся фигуры не было дырки внутри. Разрезы можно проводить только по линиям сетки. Сколькими способами можно это сделать?
Ответ:
Решение:
Пусть $F$ — множество точек в пространстве, все координаты которых являются целыми числами, не превосходящими по модулю 5. Найдите количество прямоугольных треугольников, все вершины которых принадлежат $F$, а каждый из катетов параллелен одной из трех координатных осей.
Ответ:
Решение: