Олимпиада им. Леонарда Эйлера

В 9:00 в путь отправился пешеход. Через час вслед ему из того же начального пункта выехал велосипедист. В 10:30 он догнал пешехода и поехал дальше, но через некоторое время велосипед сломался. Закончив ремонт, велосипедист поехал вслед пешеходу дальше и в 13:00 снова догнал его. Сколько минут занял ремонт? (Скорость пешехода постоянна, и он двигался без остановок, скорость велосипедиста тоже постоянна, и он двигался с единственным перерывом на ремонт.)

Можно ли отметить несколько клеток в таблице $9\times9$, чтобы в любых двух соседних строках таблицы было отмечено не меньше 6 клеток, а в любых двух соседних столбцах — не больше 5 клеток?

$ABCD$ — выпуклый четырёхугольник, где $AB=7$, $BC=4$, $AD=DC$, $\angle ABD=\angle DBC$. Точка $E$ на отрезке $AB$ такова, что $\angle DEB=90^\circ$. Найдите длину отрезка $AE$.

Докажите, что если прямые\[y=kx+m,\quad y=mx+n\quad\text{и}\quad y=nx+k\]на координатной плоскости имеют общую точку, то они совпадают.

Даны натуральные числа $a$ и $b$ ($a\gt 1$), причём $b$ делится на $a^2$. Кроме того, любой делитель числа $b$, меньший, чем $\sqrt{a}$, является также делителем числа $a$. Докажите, что у числа $a$ не более трех различных простых делителей.