Олимпиада «Физтех»

Найдите сумму всевозможных пятизначных чисел $A$ таких, что сумма остатков от деления чисел $3A$, $4A$, $5A$ на некоторую степень числа $10$ равна $12\,364$.

Уравнение $25x^3-120x^2+156x+a=0$ имеет три различных корня, которые образуют арифметическую прогрессию. Найдите все возможные значения параметра $a$. Если их несколько, в ответ запишите наибольшее из них.

Прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle A=90^\circ$) с катетами $51$ и $70$ вписан в окружность $\Gamma$. Пусть $E$ и $F$ — середины меньших дуг $AB$ и $AC$ описанной окружности. Вычислите длину части отрезка $EF$, попавшей внутрь треугольника $ABC$. Ответ округлите до сотых.

Найдите максимальное значение $y$, при котором существует ровно два значения переменной $x$, удовлетворяющих уравнению $\sqrt{6-y}+\sqrt{y+2}=x^4-8x^2+20$.

На декартовой плоскости имеется квадратный бильярдный стол с вершинами в точках $(0;0)$, $(0;10)$, $(10;0)$ и $(10;10)$ и шар в точке $(3;4)$. Шар при ударе по нему попал в нижнюю правую лузу (точка $(10;0)$), отскочив сначала от верхнего борта, потом от правого, далее от нижнего, потом от левого и, наконец, снова от верхнего. Какое расстояние преодолел шар перед тем, как попасть в лузу? (Считайте, что шар и луза — материальные точки.)