Олимпиада «Физтех»

Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $CB$ и $CA$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $B$ параллельно $MN$, пересекает окружность в двух точках, из которых точка $P$ — ближайшая к точке $B$. Найдите $PM$, если известно, что $BP=17$ и $MN=153$.

Пусть $x$ и $y$ — положительные числа, удовлетворяющие соотношению \[x^3+y^3+(x+y)^3+33xy=2662.\] Найдите минимально возможное значение суммы $x+y$.

Найдите количество различных значений функции $f(x)=[x]+[2x]+[3x]+[4x]+\left[\dfrac{5x}{3}\right]$ на отрезке $x\in[0;100]$.
Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $[-1{,}7]=-2$.

У Ольги есть конфеты $30$ сортов. Она хочет выложить конфеты по кругу так, чтобы для любых двух сортов нашлись рядом лежащие конфеты этих сортов. Какого наименьшего количества конфет ей для этого хватит?

На трёх параллельных прямых $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$ взяты точки $A_1$, $A_2$, $A_3$ соответственно, и при этом $A_1A_2=A_1A_3$. Известно, что расстояние между прямыми $\ell_1$ и $\ell_2$ равно $5$, расстояние между $\ell_1$ и $\ell_3$ равно $8$, а расстояние между $\ell_2$ и $\ell_3$ равно $13$. Найдите минимально возможную площадь треугольника $A_1A_2A_3$.